Questão 5 ( 2,0 pontos) Resolva:
Considere a função f(x, y)=x y \ln \left(\frac{y}{x}\right). Encontre f_{x}(1,1) e f_{x y}(1,1).
Passo 1
O enunciado fornece a função f(x,y)=x\,y\,\ln\!\left(\frac{y}{x}\right) e pede duas coisas:
Encontrar f_{x}(1,1) (a derivada parcial de f em relação a x avaliada no ponto (1,1)).
Encontrar f_{x y}(1,1) (a derivada mista, primeiro em x e depois em y, avaliada em (1,1)).
Informações dadas que vamos usar explicitamente: a expressão de f(x,y) e o ponto (1,1). Não há mais dados ocultos.
Passo 2
Uma manipulação algébrica que facilita as derivadas é usar a propriedade dos logaritmos:
\ln\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln y - \ln x.
Usando isso escrevemos f de forma equivalente e mais clara para derivar:
f(x,y)=x\,y\,(\ln y - \ln x)=x\,y\ln y - x\,y\ln x.
Aqui x e y são as variáveis; ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
Passo 3
Vamos calcular \,f_x(x,y)\, — a derivada parcial em relação a x.
Regra que usamos: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Para derivar termos do tipo x\cdot(\text{algo que não depende de }x) usamos que a derivada de x é 1. Para derivar x\ln x aplicamos a regra do produto:
Regra do produto: se u(x)v(x), então (u v)'=u'v+u v'.
Exemplo simples: com u=x e v=\ln x, obtemos
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Aplicando isso a cada termo de f:
Para x\,y\ln y: como \ln y e y são constantes em x, a derivada é y\ln y.
Para x\,y\ln x: factorizamos y como constante e derivamos x\ln x, obtendo y(\ln x + 1).
Portanto
f_x(x,y)=y\ln y - y(\ln x + 1).
Podemos fatorar y:
f_x(x,y)=y\big(\ln y - \ln x - 1\big).
Passo 4
Agora avalio \,f_x(1,1)\,. Lembre que \ln 1=0. Substituindo x=1 e y=1 em f_x(x,y)=y(\ln y - \ln x -1) temos
f_x(1,1)=1\big(0 - 0 - 1\big)=-1.
Passo 5
Agora precisamos de \,f_{x y}(1,1)\,, ou seja, diferenciar f_x(x,y) em relação a y e depois avaliar em (1,1).
Temos a expressão já encontrada:
f_x(x,y)=y\big(\ln y - \ln x -1\big).
Aqui, ao derivar em relação a y, \ln x e -1 são constantes (pois dependem apenas de x). Usamos a regra do produto novamente: se h(y)=y\cdot g(y), então h'(y)=1\cdot g(y) + y\cdot g'(y).
Tomando g(y)=\ln y - \ln x -1, sua derivada em relação a y é g'(y)=\dfrac{1}{y} (porque \dfrac{d}{dy}\ln y = 1/y e os outros termos são constantes).
Aplicando a regra do produto:
f_{x y}(x,y)=\underbrace{1}_{\frac{d}{dy}y}\cdot(\ln y - \ln x -1) + y\cdot\frac{1}{y}.
Simplificando:
f_{x y}(x,y)=\ln y - \ln x -1 + 1 = \ln y - \ln x.