(se esse limite existir) e então escolher L igual a esse valor. Vou mostrar passo a passo como obter esse limite sem usar calculadora, explicando cada desigualdade e teorema usado.
Lembrete útil (conceito): uma função de duas variáveis é contínua em (0,0) quando o valor dado no ponto é igual ao limite da função ao aproximarmos (x,y) de (0,0). Ou seja, devemos ter \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
Passo 3
Primeira ferramenta técnica que vamos usar: uma desigualdade básica envolvendo x e y. Mostro por que vale
2|xy| \le x^{2}+y^{2}.
Prova curta e intuitiva: considere o quadrado de |x|-|y|, que é sempre não negativo:
Explicação do que isso significa: a quantidade \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância de (x,y) até a origem (0,0). À medida que (x,y)\to(0,0), essa raiz quadrada tende a 0. Então o lado direito da desigualdade tende a 0.
Passo 5
Aplicando o teorema do confronto (squeeze theorem): temos para todos (x,y)\neq(0,0)
e se y=kx com k fixo igualmente tende a 0. Isso confirma consistência com o resultado geral acima.
Passo 6
Conclusão final: o limite existe e vale 0. Portanto, para que f seja contínua em P=(0,0) devemos escolher o valor de L igual a esse limite, ou seja L=0.
Força aí — com L=0 a função fica contínua na origem.