Questão 4 (1,5 ponto) Para a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\ L, & \text { se } \quad(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
determine L \in \mathbb{R} de modo que f seja contínua no ponto P=(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] L, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede: encontrar o valor real L tal que f seja contínua no ponto P=(0,0).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão defpara(x,y)\neq(0,0)é \dfrac{xy}{\sqrt{x{2}+y{2}}}.
  • Em(0,0)o valor éL(a escolher).
  • Para haver continuidade em(0,0)é necessário que\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
]]

Passo 2

O que precisa ser feito de fato: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
(se esse limite existir) e então escolher L igual a esse valor. Vou mostrar passo a passo como obter esse limite sem usar calculadora, explicando cada desigualdade e teorema usado.
Lembrete útil (conceito): uma função de duas variáveis é contínua em (0,0) quando o valor dado no ponto é igual ao limite da função ao aproximarmos (x,y) de (0,0). Ou seja, devemos ter \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.

Passo 3

Primeira ferramenta técnica que vamos usar: uma desigualdade básica envolvendo x e y. Mostro por que vale
2|xy| \le x^{2}+y^{2}.
Prova curta e intuitiva: considere o quadrado de |x|-|y|, que é sempre não negativo:
(|x|-|y|)^{2}\ge 0.
Expandindo:
|x|^{2}-2|x||y|+|y|^{2} \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2} \ge 2|x||y| = 2|xy|.
Portanto concluímos
|xy| \le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Essa desigualdade é muito útil para “dominar” o produto xy por algo que envolve x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Agora aplico a desigualdade ao módulo da função. Para (x,y)\neq(0,0) temos
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| = \frac{|xy|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Usando |xy| \le \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2} obtemos
\frac{|xy|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le \frac{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Logo
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| \le \frac{1}{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicação do que isso significa: a quantidade \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância de (x,y) até a origem (0,0). À medida que (x,y)\to(0,0), essa raiz quadrada tende a 0. Então o lado direito da desigualdade tende a 0.

Passo 5

Aplicando o teorema do confronto (squeeze theorem): temos para todos (x,y)\neq(0,0)
-\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \le \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le \frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Como
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 0,
pelo teorema do confronto conclui-se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = 0.
Comentário para segurança: podemos também checar caminhos específicos, por exemplo se y=x então
\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x^{2}}{\sqrt{2x^{2}}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}}\to 0,
e se y=kx com k fixo igualmente tende a 0. Isso confirma consistência com o resultado geral acima.

Passo 6

Conclusão final: o limite existe e vale 0. Portanto, para que f seja contínua em P=(0,0) devemos escolher o valor de L igual a esse limite, ou seja L=0.
Força aí — com L=0 a função fica contínua na origem.

Resposta

L=0

Exercícios relacionados