A massa
e rigidez
de um sistema não amortecido de 1-GDL são desconhecidas. Essas propriedades são determinadas ao realizar testes de excitação harmônica na condição de ressonância, varrendo uma certa faixa de frequências para a identificação da ressonância. Observou-se que com a frequência de excitação de 4 Hz a resposta tende a aumentar sem limite (condição ressonante). Adicionando uma massa
observou-se que a ressonância ocorre na frequência de excitação de 3 Hz . Determine a massa e rigidez do sistema.
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a massa
e a rigidez
de um sistema de 1-GDL não amortecido, a partir de medidas de ressonância. Informações fornecidas:
- Ressonância observada inicialmente na frequência de excitação
. - Ao adicionar uma massa
, a ressonância passou a ocorrer na frequência . - O sistema é não amortecido (portanto a ressonância ocorre exatamente na frequência natural).
Objetivo: calculare usando esses dados.
Passo 2
Conceito físico e fórmulas que usaremos (explicação didática):
- Para um sistema massa-mola sem amortecimento, a frequência natural angular
está dada por
onde
tem unidades de rad/s,
é a rigidez em N/m e
a massa em kg.
- A frequência de excitação em hertz
relaciona-se com a frequência angular por
- Em um sistema não amortecido, a ressonância (amplitude que cresce sem limite) ocorre quando a frequência de excitação
coincide com . Assim, nas duas situações medidas teremos igual a vezes as frequências dadas.
Passo 3
Aplicando a fórmula à primeira medida (sem massa adicional):
- A frequência de ressonância observada é
, logo a frequência angular é
- Como
, temos
- Quadrando ambos os lados (para eliminar a raiz) obtemos
Passo 4
Aplicando a fórmula à segunda medida (com massa adicional
):
- A massa do sistema passa a ser
. - A nova frequência de ressonância é
, então a frequência angular é
- Igualando à frequência natural:
e, quadrando,
Passo 5
Resolver o sistema de duas equações para
e
:
Temos
Temos
Para eliminar
dividimos a primeira equação pela segunda:
No lado esquerdo o
cancela e obtemos
Agora resolvemos para
:
Desenvolvendo:
Convertendo em decimal:
Passo 6
Calcular
sabendo
:
Usamos , então
Usamos
Substituindo
obtemos a forma exata
Para o valor numérico, aproximando
:
Convertendo para kN/m e arredondando:
Passo 7
Cheque rápido (verificação):
- Com
e calculado, verificamos a segunda condição:
Como
(inverso do que já usamos), isso dá
que corresponde a
, ou seja, frequência de
. Portanto os valores encontrados satisfazem ambas as medidas.