A massa m e rigidez k de um sistema não amortecido de 1-GDL são desconhecidas. Essas propriedades são determinadas ao realizar testes de excitação harmônica na condição de ressonância, varrendo uma certa faixa de frequências para a identificação da ressonância. Observou-se que com a frequência de excitação de 4 Hz a resposta tende a aumentar sem limite (condição ressonante). Adicionando uma massa \Delta m=2 \mathrm{~kg} observou-se que a ressonância ocorre na frequência de excitação de 3 Hz . Determine a massa e rigidez do sistema.
Resposta: m=2,571 \mathrm{~kg}, k=1,624 \mathrm{kN} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a massa m e a rigidez k de um sistema de 1-GDL não amortecido, a partir de medidas de ressonância. Informações fornecidas:
  • Ressonância observada inicialmente na frequência de excitação 4\\ \mathrm{Hz}.
  • Ao adicionar uma massa \Delta m = 2\\ \mathrm{kg}, a ressonância passou a ocorrer na frequência 3\\ \mathrm{Hz}.
  • O sistema é não amortecido (portanto a ressonância ocorre exatamente na frequência natural).
    Objetivo: calcular m e k usando esses dados.

Passo 2

Conceito físico e fórmulas que usaremos (explicação didática):
  • Para um sistema massa-mola sem amortecimento, a frequência natural angular \omega_n está dada por
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}},
onde \omega_n tem unidades de rad/s, k é a rigidez em N/m e m a massa em kg.
  • A frequência de excitação em hertz f relaciona-se com a frequência angular por
\omega = 2\pi f.
  • Em um sistema não amortecido, a ressonância (amplitude que cresce sem limite) ocorre quando a frequência de excitação \omega coincide com \omega_n. Assim, nas duas situações medidas teremos \omega_n igual a 2\pi vezes as frequências dadas.

Passo 3

Aplicando a fórmula à primeira medida (sem massa adicional):
  • A frequência de ressonância observada é 4\\ \mathrm{Hz}, logo a frequência angular é
\omega_1 = 2\pi\cdot 4 = 8\pi\\ \text{rad/s}.
  • Como \omega_1=\omega_n, temos
\sqrt{\frac{k}{m}} = 8\pi.
  • Quadrando ambos os lados (para eliminar a raiz) obtemos
\frac{k}{m} = (8\pi)^2 = 64\pi^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula à segunda medida (com massa adicional \Delta m=2\\ \mathrm{kg}):
  • A massa do sistema passa a ser m_2 = m + 2.
  • A nova frequência de ressonância é 3\\ \mathrm{Hz}, então a frequência angular é
\omega_2 = 2\pi\cdot 3 = 6\pi\\ \text{rad/s}.
  • Igualando à frequência natural:
\sqrt{\frac{k}{m+2}} = 6\pi,
e, quadrando,
\frac{k}{m+2} = (6\pi)^2 = 36\pi^2.

Passo 5

Resolver o sistema de duas equações para m e k:
Temos
\frac{k}{m} = 64\pi^2 \quad\text{e}\quad \frac{k}{m+2} = 36\pi^2.
Para eliminar k dividimos a primeira equação pela segunda:
\frac{\frac{k}{m}}{\frac{k}{m+2}} = \frac{64\pi^2}{36\pi^2}.
No lado esquerdo o k cancela e obtemos
\frac{m+2}{m} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9}.
Agora resolvemos para m:
\frac{m+2}{m} = \frac{16}{9} \Rightarrow 9(m+2) = 16m.
Desenvolvendo:
9m + 18 = 16m \Rightarrow 18 = 7m \Rightarrow m = \frac{18}{7}.
Convertendo em decimal:
m = \frac{18}{7} \approx 2{,}57142857\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular k sabendo m:
Usamos \dfrac{k}{m} = 64\pi^2, então
k = 64\pi^2 m.
Substituindo m=\dfrac{18}{7} obtemos a forma exata
k = \frac{1152\pi^2}{7}\\ \mathrm{N/m}.
Para o valor numérico, aproximando \pi^2 \approx 9{,}8696044:
k \approx \frac{1152 \times 9{,}8696044}{7} \approx 1624{,}255\\ \mathrm{N/m}.
Convertendo para kN/m e arredondando:
k \approx 1{,}624\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}.

Passo 7

Cheque rápido (verificação):
  • Com m=18/7 e k calculado, verificamos a segunda condição:
\frac{k}{m+2} = \frac{64\pi^2 m}{m+2} = 64\pi^2 \cdot \frac{m}{m+2}.
Como \dfrac{m}{m+2}=\dfrac{9}{16} (inverso do que já usamos), isso dá
64\pi^2 \cdot \frac{9}{16} = 36\pi^2,
que corresponde a (6\pi)^2, ou seja, frequência de 3\\ \mathrm{Hz}. Portanto os valores encontrados satisfazem ambas as medidas.

Resposta

m = 2{,}571\\ \mathrm{kg}\n
k = 1{,}624\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}

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