Uma parte de maquinaria de massa 1,95 \mathrm{~kg} vibra num meio viscoso.
(a) Determine o coeficiente de amortecimento quando uma força de excitação harmônica de 24,46 \mathrm{~N} resulta numa amplitude ressonante de 1,27 \mathrm{~cm} com período de 0,20 \mathrm{~s}.
(b) Se este sistema é excitado com uma força harmônica de 4 Hz , em quantas vezes aumenta a amplitude da vibração forçada quando o amortecedor é removido?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo para não perdermos nada):
  • Massa da peça: m=1,95\\ \mathrm{kg}.
  • Força de excitação harmônica (amplitude): F_{0}=24,46\\ \mathrm{N}.
  • Amplitude medida na condição de ressonância: A_{\text{res}}=1,27\\ \mathrm{cm}.
  • Período da excitação na condição de ressonância: T=0,20\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta (a): determinar o coeficiente de amortecimento c.
  • Pergunta (b): se o sistema for excitado com uma força harmônica de 4\\ \mathrm{Hz}, em quantas vezes aumenta a amplitude da vibração forçada quando o amortecedor é removido (ou seja, razão A_{\text{sem amortecedor}}/A_{\text{com amortecedor}}).
Observações imediatas de dados a usar (conversões que faremos sem resolver ainda):
  • Converter amplitude para metros: A_{\text{res}}=1,27\\ \mathrm{cm}=0,0127\\ \mathrm{m}.
  • A frequência angular correspondente ao período T é \omega=2\pi/T.

Passo 2

Equação de movimento e fórmula da amplitude em regime forçado estacionário.
A equação diferencial de um oscilador massa-mola-amortecedor forçado é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_{0}\cos(\omega t),
onde:
  • m é a massa (kg),
  • c é o coeficiente de amortecimento viscoso (kg/s),
  • k é a constante da mola (N/m),
  • F_{0} é a amplitude da força externa (N),
  • \omega é a frequência angular da força excitadora (rad/s),
  • x(t) é o deslocamento (m).
A solução em regime estacionário tem amplitude (módulo da resposta)
A(\omega)=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
Explico essa fórmula de forma simples: o numerador é a força aplicada; o denominador é a “resistência” efetiva do sistema à excitação naquela frequência — tem duas partes: a diferença entre rigidez e inércia (k-m\omega^2) e a contribuição dissipativa do amortecedor (c\omega).

Passo 3

Interpretação do dado “amplitude ressonante” e simplificação útil.
Quando a excitação é feita exatamente na frequência natural não amortecida \omega_n=\sqrt{k/m}, temos k-m\omega^{2}=0 e a expressão da amplitude simplifica para
A_{\text{res}}=\frac{F_{0}}{c\omega}.
Aqui chamo de A_{\text{res}} a amplitude observada quando a força foi aplicada com período T=0,20\\ \mathrm{s} (isto é, a excitação fornecida no enunciado corresponde ao caso de ressonância observado). Portanto vamos usar a relação acima para encontrar c. Mais adiante usaremos a mesma \omega para obter k=m\omega^{2}.

Passo 4

Cálculo da frequência angular na condição dada e obtenção de c.
A frequência angular da excitação com período T=0,20\\ \mathrm{s} é
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,20}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Usando a fórmula da amplitude em ressonância \displaystyle A_{\text{res}}=\frac{F_{0}}{c\omega}, isolamos c:
c=\frac{F_{0}}{A_{\text{res}}\omega}.
Substituindo os valores (com A_{\text{res}}=0,0127\\ \mathrm{m} e \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}):
c=\frac{24,46}{0,0127\cdot 10\pi}.
Agora faço as contas passo a passo:
0,0127\cdot 10\pi = 0,0127\cdot 31{,}415926\ldots \approx 0,398982264,
c \approx \frac{24,46}{0,398982264}\approx 61{,}3\\ \mathrm{kg/s}.
Portanto o coeficiente de amortecimento vale aproximadamente c\approx 61{,}3\\ \mathrm{kg/s} (ou \mathrm{N\cdot s/m}, mesma unidade).

Passo 5

Determinar a constante da mola k (será necessária para a parte (b)).
Como usamos a condição k-m\omega^{2}=0 na ressonância, temos
k=m\omega^{2}.
Com m=1{,}95\\ \mathrm{kg} e \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}:
k=1{,}95\cdot(10\pi)^{2}=1{,}95\cdot 100\pi^{2}.
Numérico:
\pi^{2}\approx 9{,}8696044,\quad 100\pi^{2}\approx 986{,}96044,
k\approx 1{,}95\cdot 986{,}96044 \approx 1924{,}57\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Parte (b): razão entre amplitude sem amortecedor e com amortecedor para excitação de 4\\ \mathrm{Hz}.
Dados para (b):
  • frequência de excitação f_{d}=4\\ \mathrm{Hz} \Rightarrow frequência angular \omega_{d}=2\pi f_{d}=8\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • usaremos a mesma amplitude de força F_{0}=24,46\\ \mathrm{N}.
  • já temos k e c calculados nos passos anteriores.
Amplitude com amortecedor (já conhecida a fórmula):
A_{c}(\omega_{d})=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega_{d}^{2})^{2}+(c\omega_{d})^{2}}}.
Amplitude sem amortecedor ( c=0):
A_{0}(\omega_{d})=\frac{F_{0}}{\left|k-m\omega_{d}^{2}\right|}.
A razão pedida é
\frac{A_{0}}{A_{c}}=\sqrt{1+\left(\frac{c\omega_{d}}{k-m\omega_{d}^{2}}\right)^{2}}.
Note que F_{0} cancela — bonitinho: a razão independe da amplitude da força.

Passo 7

Cálculo numérico da razão.
Calculo \omega_{d}=8\pi\\ \mathrm{rad/s}, e então
k-m\omega_{d}^{2}=m(\omega^{2}-\omega_{d}^{2})
onde recordo \omega=10\pi (a frequência usada na ressonância). Já calculamos \omega^{2}=(10\pi)^{2}=100\pi^{2}\approx 986{,}96044 e \omega_{d}^{2}=(8\pi)^{2}=64\pi^{2}\approx 631{,}6547. Assim
\omega^{2}-\omega_{d}^{2}\approx 986{,}96044-631{,}6547=355{,}30574,
k-m\omega_{d}^{2}=1{,}95\cdot 355{,}30574\approx 692{,}847\\ \mathrm{N/m}.
Agora c\omega_{d}:
c\omega_{d}\approx 61{,}3\cdot 8\pi \approx 61{,}3\cdot 25{,}13274\approx 1540{,}99\\ \mathrm{N/m}.
Calcule a razão:
\frac{A_{0}}{A_{c}}=\sqrt{1+\left(\frac{1540{,}99}{692{,}847}\right)^{2}} =\sqrt{1+(2{,}223)^{2}} =\sqrt{1+4{,}944}\approx \sqrt{5{,}944}\approx 2{,}44.
Portanto, ao remover o amortecedor a amplitude aumenta aproximadamente por um fator 2{,}44.

Resposta

(a) c=61{,}3\\ \mathrm{kg/s}
(b) 2{,}44 vezes

Exercícios relacionados