Uma parte de maquinaria de massa 1,95 \mathrm{~kg} vibra num meio viscoso.
(a) Determine o coeficiente de amortecimento quando uma força de excitação harmônica de 24,46 \mathrm{~N} resulta numa amplitude ressonante de 1,27 \mathrm{~cm} com período de 0,20 \mathrm{~s}.
(b) Se este sistema é excitado com uma força harmônica de 4 Hz , em quantas vezes aumenta a amplitude da vibração forçada quando o amortecedor é removido?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo para não perdermos nada):
Massa da peça: m=1,95\\ \mathrm{kg}.
Força de excitação harmônica (amplitude): F_{0}=24,46\\ \mathrm{N}.
Amplitude medida na condição de ressonância: A_{\text{res}}=1,27\\ \mathrm{cm}.
Período da excitação na condição de ressonância: T=0,20\\ \mathrm{s}.
Pergunta (a): determinar o coeficiente de amortecimento c.
Pergunta (b): se o sistema for excitado com uma força harmônica de 4\\ \mathrm{Hz}, em quantas vezes aumenta a amplitude da vibração forçada quando o amortecedor é removido (ou seja, razão A_{\text{sem amortecedor}}/A_{\text{com amortecedor}}).
Observações imediatas de dados a usar (conversões que faremos sem resolver ainda):
Converter amplitude para metros: A_{\text{res}}=1,27\\ \mathrm{cm}=0,0127\\ \mathrm{m}.
A frequência angular correspondente ao período T é \omega=2\pi/T.
Passo 2
Equação de movimento e fórmula da amplitude em regime forçado estacionário.
A equação diferencial de um oscilador massa-mola-amortecedor forçado é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_{0}\cos(\omega t),
onde:
m é a massa (kg),
c é o coeficiente de amortecimento viscoso (kg/s),
k é a constante da mola (N/m),
F_{0} é a amplitude da força externa (N),
\omega é a frequência angular da força excitadora (rad/s),
x(t) é o deslocamento (m).
A solução em regime estacionário tem amplitude (módulo da resposta)
Explico essa fórmula de forma simples: o numerador é a força aplicada; o denominador é a “resistência” efetiva do sistema à excitação naquela frequência — tem duas partes: a diferença entre rigidez e inércia (k-m\omega^2) e a contribuição dissipativa do amortecedor (c\omega).
Passo 3
Interpretação do dado “amplitude ressonante” e simplificação útil.
Quando a excitação é feita exatamente na frequência natural não amortecida \omega_n=\sqrt{k/m}, temos k-m\omega^{2}=0 e a expressão da amplitude simplifica para
A_{\text{res}}=\frac{F_{0}}{c\omega}.
Aqui chamo de A_{\text{res}} a amplitude observada quando a força foi aplicada com período T=0,20\\ \mathrm{s} (isto é, a excitação fornecida no enunciado corresponde ao caso de ressonância observado). Portanto vamos usar a relação acima para encontrar c. Mais adiante usaremos a mesma \omega para obter k=m\omega^{2}.
Passo 4
Cálculo da frequência angular na condição dada e obtenção de c.
A frequência angular da excitação com período T=0,20\\ \mathrm{s} é
Note que F_{0} cancela — bonitinho: a razão independe da amplitude da força.
Passo 7
Cálculo numérico da razão.
Calculo \omega_{d}=8\pi\\ \mathrm{rad/s}, e então
k-m\omega_{d}^{2}=m(\omega^{2}-\omega_{d}^{2})
onde recordo \omega=10\pi (a frequência usada na ressonância). Já calculamos \omega^{2}=(10\pi)^{2}=100\pi^{2}\approx 986{,}96044 e \omega_{d}^{2}=(8\pi)^{2}=64\pi^{2}\approx 631{,}6547. Assim