O mecanismo de recuo de uma arma é projetado como uma mola e um amortecedor viscoso em paralelo tal que o sistema tenha amortecimento crítico. Um canhão de 10 kg tem recuo máximo de 5 cm após o disparo. Especifique a rigidez e o coeficiente de amortecimento desse mecanismo tal que este retorne para dentro de
da posição de tiro em um tempo de
após o disparo.
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede que você escolha a rigidez e o coeficiente de amortecimento do mecanismo (mola + amortecedor viscoso em paralelo) de modo que o canhão volte para dentro de
da posição de tiro em
após o disparo, sabendo que o sistema deve ser criticamente amortecido. As informações dadas são:
O que se pede:
- determinar a rigidez
em ; - determinar o coeficiente de amortecimento
em .
Passo 2
Modelagem dinâmica e parâmetros importantes. A equação do movimento do sistema massa-mola-amortecedor (sem forçamento externo, resposta livre) é
Aqui:
-
é o deslocamento relativo ao ponto de equilíbrio (posição de tiro); -
é a massa ( ); -
é o coeficiente de amortecimento viscoso ( ); -
é a rigidez da mola ( ).
Definições úteis:
Amortecimento crítico corresponde a
. Portanto, para amortecimento crítico vale a relação
Passo 3
Solução do caso criticamente amortecido e condições iniciais. Quando
a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Para o recuo máximo logo após o disparo assumimos as condições iniciais naturais:
(já que em
o corpo está momentaneamente sem velocidade).
Passo 4
Determinação das constantes
e
. Aplicando
. Derivando
e aplicando
:
Em
:
Logo a solução particular com as condições dadas é
Passo 5
Imposição da especificação numérica. Queremos que, no tempo
,
Substituindo a solução:
Agora colocamos os números:
,
,
. Dividindo por
obtemos
Definindo
(adiimensional), a condição vira
Esta é uma equação transcendental em
(aparece
dentro e fora de um exponencial), então a solução é obtida numericamente.
Passo 6
Resolução numérica da equação
por tentativa e aproximação (método de sondagem). Calculamos o lado esquerdo para alguns valores de
:
Portanto a raiz está entre
e
; uma boa aproximação prática é tomar
a
. Para projetar componentes com números redondos e obter valores práticos, adotamos
, o que dá um compromisso entre precisão e números fáceis de usar. Assim,
Passo 7
Cálculo de
e
a partir de
. Usamos
Substituindo
e
:
Arredondando para um valor prático obtemos
.
Para o coeficiente de amortecimento, em amortecimento crítico vale
Substituindo: