Uma massa de 1 slug, quando presa a uma mola, distende-a em 2 pés e então chega ao repouso na posição de equilíbrio. A partir de t=0, uma força externa igual a f(t)=84 t é aplicada ao sistema. Qual é a equação do movimento se o meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Massa: \,1 slug.
  • Quando a massa é presa à mola, ela distende a mola em \,2 pés e fica em repouso nessa posição de equilíbrio.
  • A partir de t=0 é aplicada uma força externa \,f(t)=84\,t.
  • O meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea (isto é, força de amortecimento proporcial à velocidade, com coeficiente igual a 8).
O que o enunciado pergunta:
  • Qual é a equação do movimento do sistema (ou seja, a equação diferencial que descreve o deslocamento da massa ao longo do tempo)?

Passo 2

Entendendo e calculando a constante da mola: quando a massa fica em repouso na posição de equilíbrio, as forças verticais se anulam. A massa pesa \,mg para baixo e a mola fornece uma força restauradora k\cdot(\text{extensão})ã para cima. Assim, em equilíbrio:
mg = k\cdot 2.
Aqui precisamos lembrar que, no sistema de unidades inglês usado (slug, pé, segundo), a aceleração da gravidade é g=32\\ \text{ft/s}^2. Então:
m g = 1\cdot 32 = 32.
Portanto:
k = \frac{mg}{2} = \frac{32}{2} = 16.
Conclusão: a constante da mola é \,k=16 (unidades: lb/ft).

Passo 3

Escolha de coordenada e por que isso simplifica: é comum medir o deslocamento x(t) a partir da posição de equilíbrio estático (a posição onde a mola já está estendida 2 pés e a massa está em repouso). Se tomarmos x(t) = deslocamento medido a partir dessa posição de equilíbrio, a força gravitacional já está equilibrada pela extensão estática da mola e não aparece explicitamente na equação dinâmica — ela foi “absorvida” na escolha da origem. Isso facilita: só precisamos considerar variações em torno do equilíbrio.

Passo 4

Modelo físico e montagem da equação diferencial passo a passo:
  • Força da mola (lei de Hooke): a mola fornece uma força restauradora proporcional ao deslocamento em relação ao equilíbrio, com sinal contrário ao deslocamento:
\text{força da mola} = -k x(t).ç
Aqui k é a constante da mola ( 16) e x(t) é a posição medida a partir do equilíbrio.
  • Força de amortecimento: dada como numericamente igual a oito vezes a velocidade, ou seja
\text{força de amortecimento} = -c \,\dot x(t),ç
com c=8. O sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento (se \dot x>0, a força é negativa).
  • Força externa aplicada: é f(t)=84\,t (tomamos positiva na mesma direção que x positiva).
  • Segunda lei de Newton: soma das forças = massa \times aceleração:
m\,\ddot x(t) = -k x(t) - c \,\dot x(t) + f(t).
Isso é a equação geral para um oscilador linear massa-mola-amortecedor com força externa.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos encontrados e fornecidos: m=1, k=16, c=8, f(t)=84\,t. Inserindo na equação do Passo 4 obtemos:
1\cdot \ddot x(t) = -16\,x(t) - 8\,\dot x(t) + 84\,t.
Rearranjando para a forma padrão:
\ddot x(t) + 8\,\dot x(t) + 16\,x(t) = 84\,t.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova (como resolver esse tipo de EDO se pedirem a solução): a equação
\ddot x + 8\dot x + 16 x = 84 t
é uma equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes, forçada por um termo polinomial em t. O procedimento típico para resolver (caso peçam) é:
  • Resolver a homogênea \ddot x + 8\dot x + 16 x = 0 encontrando as raízes do polinômio característico \lambda^2+8\lambda+16=(\lambda+4)^2.
  • Procurar uma solução particular para o forçamento 84t por coeficientes a determinar (ansatz do tipo At+B).
  • Somar solução homogênea com particular e aplicar condições iniciais se dadas.
Se na prova pedirem apenas a equação do movimento, a equação do Passo 5 já é a resposta.

Resposta

\ddot x(t) + 8\,\dot x(t) + 16\,x(t) = 84\,t

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