Uma massa de 1 slug, quando presa a uma mola, distende-a em 2 pés e então chega ao repouso na posição de equilíbrio. A partir de
, uma força externa igual a
é aplicada ao sistema. Qual é a equação do movimento se o meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Massa:
slug. - Quando a massa é presa à mola, ela distende a mola em
pés e fica em repouso nessa posição de equilíbrio. - A partir de
é aplicada uma força externa . - O meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea (isto é, força de amortecimento proporcial à velocidade, com coeficiente igual a
).
O que o enunciado pergunta:
- Qual é a equação do movimento do sistema (ou seja, a equação diferencial que descreve o deslocamento da massa ao longo do tempo)?
Passo 2
Entendendo e calculando a constante da mola: quando a massa fica em repouso na posição de equilíbrio, as forças verticais se anulam. A massa pesa
para baixo e a mola fornece uma força restauradora
para cima. Assim, em equilíbrio:
Aqui precisamos lembrar que, no sistema de unidades inglês usado (slug, pé, segundo), a aceleração da gravidade é
. Então:
Portanto:
Conclusão: a constante da mola é
(unidades: lb/ft).
Passo 3
Escolha de coordenada e por que isso simplifica: é comum medir o deslocamento
a partir da posição de equilíbrio estático (a posição onde a mola já está estendida 2 pés e a massa está em repouso). Se tomarmos
= deslocamento medido a partir dessa posição de equilíbrio, a força gravitacional já está equilibrada pela extensão estática da mola e não aparece explicitamente na equação dinâmica — ela foi “absorvida” na escolha da origem. Isso facilita: só precisamos considerar variações em torno do equilíbrio.
Passo 4
Modelo físico e montagem da equação diferencial passo a passo:
- Força da mola (lei de Hooke): a mola fornece uma força restauradora proporcional ao deslocamento em relação ao equilíbrio, com sinal contrário ao deslocamento:
Aqui
é a constante da mola (
) e
é a posição medida a partir do equilíbrio.
- Força de amortecimento: dada como numericamente igual a oito vezes a velocidade, ou seja
com
. O sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento (se
, a força é negativa).
-
Força externa aplicada: é
(tomamos positiva na mesma direção que positiva). -
Segunda lei de Newton: soma das forças = massa
aceleração:
Isso é a equação geral para um oscilador linear massa-mola-amortecedor com força externa.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos encontrados e fornecidos:
,
,
,
. Inserindo na equação do Passo 4 obtemos:
Rearranjando para a forma padrão:
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova (como resolver esse tipo de EDO se pedirem a solução): a equação
é uma equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes, forçada por um termo polinomial em
. O procedimento típico para resolver (caso peçam) é:
- Resolver a homogênea
encontrando as raízes do polinômio característico . - Procurar uma solução particular para o forçamento
por coeficientes a determinar (ansatz do tipo ). - Somar solução homogênea com particular e aplicar condições iniciais se dadas.
Se na prova pedirem apenas a equação do movimento, a equação do Passo 5 já é a resposta.