Uma massa pesando 8 libras é presa a uma mola. Quando em movimento, o sistema massa/mola exibe um movimento harmônico simples. Determine a equação do movimento se a constante da mola for de 1 \mathrm{lb} / pé e a massa for inicialmente solta de um ponto 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de \frac{3}{2} pés/s para baixo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a equação do movimento do sistema massa-mola:
  • Peso da massa: 8 libras.
  • Constante da mola: 1\\ \mathrm{lb/ft}.
  • Posição inicial: 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio.
  • Velocidade inicial: \tfrac{3}{2} pés/s para baixo.
    A tarefa é determinar a função x(t) que descreve o movimento harmônico simples do bloco (a função deve indicar deslocamento em função do tempo).

Passo 2

Escolha de sinal e modelo físico (modelagem) — vamos explicar com calma.
  • Vamos medir o deslocamento x(t) a partir da posição de equilíbrio e tomar a direção para baixo como positiva. Assim, x>0 significa deslocamento para baixo.
  • A mola exerce uma força elástica para cima igual a -k x (lei de Hooke), onde k é a constante da mola em \mathrm{lb/ft} e x está em pés.
  • Pela segunda lei de Newton, força resultante = massa \times aceleração: \text{(massa)}\cdot x''(t)= soma das forças. Como a única força (além do peso, que é neutralizada ao medir em relação à posição de equilíbrio) é a força da mola, obtemos a equação
m\,x''(t) = -k\,x(t).
Explicação das variáveis: m é a massa em slugs (unidade do sistema inglês para massa), x(t) é o deslocamento em pés, x''(t) é a aceleração em \mathrm{ft/s^2}, k é a constante da mola em \mathrm{lb/ft}.

Passo 3

Converter unidades e calcular a massa.
  • O enunciado deu o peso W=8 lb. A relação entre peso e massa é W = m g, onde g=32\\ \mathrm{ft/s^2} é a aceleração da gravidade (em unidades inglesas). Então
m=\frac{W}{g}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\\ \text{slug}.
  • A constante da mola é k=1\\ \mathrm{lb/ft} (já em unidades compatíveis).
    Substituindo na equação m x'' + k x = 0, obtemos
\frac{1}{4}\,x''(t) + 1\cdot x(t)=0.
Multiplicando por 4 para simplificar,
x''(t) + 4\,x(t)=0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial e interpretar.
  • A equação é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
r^2 + 4 = 0,
cujas raízes são r=\pm 2i. Isso indica movimento harmônico simples com frequência angular \omega=2\\ \mathrm{rad/s}.
  • A solução geral para esse caso é
x(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicando: \cos e \sin aparecem porque as raízes imaginárias produzem funções periódicas; \omega=2 controla a rapidez das oscilações.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais (converter os dados e resolver para C_1,C_2).
  • Converter 6 polegadas para pés: 6 in = 6/12=1/2 ft. Como a massa está 6 polegadas abaixo do equilíbrio e tomamos para baixo sinal positivo, temos
x(0)=\tfrac{1}{2}\\ \text{ft}.
  • A velocidade inicial é \tfrac{3}{2} ft/s para baixo; com nosso sinal positivo para baixo,
x'(0)=\tfrac{3}{2}\\ \text{ft/s}.
  • Calcular x'(t) a partir da solução geral:
x'(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t).
Avaliar em t=0:
x(0) = C_1 = \tfrac{1}{2},
x'(0) = 2C_2 = \tfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{3}{4}.

Passo 6

Escrever a solução final e comentar a forma alternativa (amplitude e fase).
  • Substituindo C_1 e C_2 na solução geral:
x(t) = \tfrac{1}{2}\cos(2t) + \tfrac{3}{4}\sin(2t)\quad\text{(em pés, para baixo positivo).}é
  • Se quiser ver como fica em forma de um único cosseno com fase, podemos escrever
x(t) = R\cos(2t - \varphi),
onde
R=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{3}{4}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{13}{16}}=\tfrac{\sqrt{13}}{4}\approx 0,9014\\ \text{ft},
e
\varphi=\arctan\!\bigg(\frac{3/4}{1/2}\bigg)=\arctan\!\bigg(\tfrac{3}{2}\bigg)\approx 0{,}9828\\ \text{rad}\\ (\approx 56{,}31^\circ).
Isso significa que o movimento é uma oscilação de amplitude \tfrac{\sqrt{13}}{4} ft e frequência angular 2\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

x(t)=\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{3}{4}\sin(2t)\\ \text{(pés, direção para baixo positiva).}éçã

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