Uma massa pesando 8 libras é presa a uma mola. Quando em movimento, o sistema massa/mola exibe um movimento harmônico simples. Determine a equação do movimento se a constante da mola for de
pé e a massa for inicialmente solta de um ponto 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de
pés/s para baixo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a equação do movimento do sistema massa-mola:
- Peso da massa:
libras. - Constante da mola:
. - Posição inicial:
polegadas abaixo da posição de equilíbrio. - Velocidade inicial:
pés/s para baixo.
A tarefa é determinar a funçãoque descreve o movimento harmônico simples do bloco (a função deve indicar deslocamento em função do tempo).
Passo 2
Escolha de sinal e modelo físico (modelagem) — vamos explicar com calma.
- Vamos medir o deslocamento
a partir da posição de equilíbrio e tomar a direção para baixo como positiva. Assim, significa deslocamento para baixo. - A mola exerce uma força elástica para cima igual a
(lei de Hooke), onde é a constante da mola em e está em pés. - Pela segunda lei de Newton, força resultante = massa
aceleração: soma das forças. Como a única força (além do peso, que é neutralizada ao medir em relação à posição de equilíbrio) é a força da mola, obtemos a equação
Explicação das variáveis:
é a massa em slugs (unidade do sistema inglês para massa),
é o deslocamento em pés,
é a aceleração em
,
é a constante da mola em
.
Passo 3
Converter unidades e calcular a massa.
- O enunciado deu o peso
lb. A relação entre peso e massa é , onde é a aceleração da gravidade (em unidades inglesas). Então
- A constante da mola é
(já em unidades compatíveis).
Substituindo na equação, obtemos
Multiplicando por
para simplificar,
Passo 4
Resolver a equação diferencial e interpretar.
- A equação é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
cujas raízes são
. Isso indica movimento harmônico simples com frequência angular
.
- A solução geral para esse caso é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicando:
e
aparecem porque as raízes imaginárias produzem funções periódicas;
controla a rapidez das oscilações.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais (converter os dados e resolver para
).
- Converter
polegadas para pés: in = ft. Como a massa está polegadas abaixo do equilíbrio e tomamos para baixo sinal positivo, temos
- A velocidade inicial é
ft/s para baixo; com nosso sinal positivo para baixo,
- Calcular
a partir da solução geral:
Avaliar em
:
Passo 6
Escrever a solução final e comentar a forma alternativa (amplitude e fase).
- Substituindo
e na solução geral:
- Se quiser ver como fica em forma de um único cosseno com fase, podemos escrever
onde
e
Isso significa que o movimento é uma oscilação de amplitude
ft e frequência angular
.