Uma massa pesando 4 libras é presa a uma mola cuja constante é
. O meio oferece uma força de amortecimento com peso que é numericamente igual à velocidade instantânea. A massa é inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 8 pés/seg para baixo.
Determine o tempo no qual a massa passará pela posição de equilíbrio. Ache o tempo no qual a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição da massa nesse instante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
-
Dados fornecidos:
- Peso da massa:
libras. - Constante da mola:
lb/ft. - Força de amortecimento: a enunciação diz que o “peso” da força de amortecimento é numericamente igual à velocidade instantânea — vou interpretar isso como: a força de amortecimento é proporcional à velocidade com coeficiente igual a
, ou seja o coeficiente de amortecimento é (unidade correta: lb·s/ft). - A massa é solta de um ponto
pé acima da posição de equilíbrio com velocidade de ft/s para baixo.
- Peso da massa:
-
O que é pedido:
- Determinar o tempo em que a massa passará pela posição de equilíbrio.
- Encontrar o tempo em que a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio (isto é, o instante em que a posição atinge um extremo).
- Determinar a posição da massa nesse instante (o deslocamento relativo à posição de equilíbrio).
Observação: adotarei a convenção de sinais em que o eixo
mede o deslocamento a partir da posição de equilíbrio com o sentido para baixo positivo. Assim, “1 pé acima da posição de equilíbrio” corresponde a
ft, e velocidade para baixo
ft/s corresponde a
ft/s.
Passo 2
Modelagem física e obtenção da equação diferencial de movimento.
- Primeiro precisamos da massa em unidades de massa (slugs). A relação entre peso
(libras) e massa (slugs) é , com ft/s . Então:
- A equação de movimento para uma massa-sistema massa-mola-amortecedor linear (sem forças externas) é
onde
é o deslocamento medido a partir do equilíbrio,
a massa,
o coeficiente de amortecimento e
a constante da mola.
- Substituindo
, e :
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Passo 3
Resolução da equação diferencial homogênea e interpretação das raízes.
- Consideramos a equação característica associada:
- Calculando o discriminante:
. Portanto temos uma raiz real dupla:
- Para uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é da forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Vou explicar rapidamente por que: quando o polinômio característico tem raiz dupla
, duas soluções independentes são
e
; a combinação linear delas dá a forma acima.
Passo 4
Aplicação das condições iniciais para determinar
e
.
- Condições iniciais (pela convenção do passo 1):
- Avaliando
:
Logo
.
- Derivando
para aplicar . Derivada:
- Avaliando em
:
Mas
e
, então:
- Assim a solução completa é
Passo 5
Determinar o tempo em que a massa passa pela posição de equilíbrio.
- Passar pela posição de equilíbrio significa
. Aplicando à solução:
- A exponencial nunca é zero, logo basta resolver
Portanto a massa passa pela posição de equilíbrio no instante
s.
Passo 6
Determinar o instante do deslocamento máximo (extremo) e a posição nesse instante.
- Um extremo de
ocorre quando . Já temos expressão para ; com , ela fica:
(Fatorando
:
.)
- Zerar
:
- Agora calcule
nesse instante:
- Interpretação com a convenção de sinais:
significa deslocamento para baixo (positivo no nosso eixo). Verificação do caráter do extremo: para temos (movendo-se para baixo) e para temos (movendo-se para cima), portanto é um máximo local — é o deslocamento máximo para baixo em relação ao equilíbrio.