Uma massa pesando 4 libras é presa a uma mola cuja constante é 2 \mathrm{lb} / \mathrm{pé}é. O meio oferece uma força de amortecimento com peso que é numericamente igual à velocidade instantânea. A massa é inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 8 pés/seg para baixo.
Determine o tempo no qual a massa passará pela posição de equilíbrio. Ache o tempo no qual a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição da massa nesse instante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Dados fornecidos:
    • Peso da massa: 4 libras.
    • Constante da mola: 2 lb/ft.
    • Força de amortecimento: a enunciação diz que o “peso” da força de amortecimento é numericamente igual à velocidade instantânea — vou interpretar isso como: a força de amortecimento é proporcional à velocidade com coeficiente igual a 1, ou seja o coeficiente de amortecimento é c=1 (unidade correta: lb·s/ft).
    • A massa é solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio com velocidade de 8 ft/s para baixo.
  • O que é pedido:
    1. Determinar o tempo em que a massa passará pela posição de equilíbrio.
    2. Encontrar o tempo em que a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio (isto é, o instante em que a posição atinge um extremo).
    3. Determinar a posição da massa nesse instante (o deslocamento relativo à posição de equilíbrio).
Observação: adotarei a convenção de sinais em que o eixo x mede o deslocamento a partir da posição de equilíbrio com o sentido para baixo positivo. Assim, “1 pé acima da posição de equilíbrio” corresponde a x(0)=-1 ft, e velocidade para baixo 8 ft/s corresponde a x'(0)=+8 ft/s.

Passo 2

Modelagem física e obtenção da equação diferencial de movimento.
  • Primeiro precisamos da massa em unidades de massa (slugs). A relação entre peso W (libras) e massa m (slugs) é m = W/g, com g=32 ft/s ^2. Então:
m=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\\ \text{slugs}.
  • A equação de movimento para uma massa-sistema massa-mola-amortecedor linear (sem forças externas) é
m x'' + c x' + k x = 0,
onde x(t) é o deslocamento medido a partir do equilíbrio, m a massa, c o coeficiente de amortecimento e k a constante da mola.
  • Substituindo m=\tfrac{1}{8}, c=1 e k=2:
\frac{1}{8} x'' + 1\cdot x' + 2 x = 0.
Multiplicando toda a equação por 8 para simplificar:
x'' + 8 x' + 16 x = 0.

Passo 3

Resolução da equação diferencial homogênea e interpretação das raízes.
  • Consideramos a equação característica associada:
r^2 + 8 r + 16 = 0.
  • Calculando o discriminante: \Delta = 8^2 - 4\cdot1\cdot16 = 64 - 64 = 0. Portanto temos uma raiz real dupla:
r = -4 \quad (\text{multiplicidade }2).
  • Para uma raiz dupla r=-4, a solução geral da equação diferencial é da forma
x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-4 t},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. Vou explicar rapidamente por que: quando o polinômio característico tem raiz dupla r, duas soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt}; a combinação linear delas dá a forma acima.

Passo 4

Aplicação das condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
  • Condições iniciais (pela convenção do passo 1):
x(0)=-1,\qquad x'(0)=8.
  • Avaliando x(0):
x(0) = (C_1 + C_2\cdot 0)e^{0} = C_1 = -1.
Logo C_1=-1.
  • Derivando x(t) para aplicar x'(0). Derivada:
x'(t) = \frac{d}{dt}\big[(C_1 + C_2 t)e^{-4t}\big] = \big(C_2 -4(C_1 + C_2 t)\big)e^{-4t}.
  • Avaliando em t=0:
x'(0) = \big(C_2 -4 C_1\big)e^{0} = C_2 -4 C_1.
Mas x'(0)=8 e C_1=-1, então:
C_2 -4(-1) = 8 \quad\Rightarrow\quad C_2 +4 = 8 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 4.
  • Assim a solução completa é
x(t) = (-1 + 4 t)e^{-4 t}.

Passo 5

Determinar o tempo em que a massa passa pela posição de equilíbrio.
  • Passar pela posição de equilíbrio significa x(t)=0. Aplicando à solução:
(-1 + 4 t)e^{-4 t} = 0.
  • A exponencial nunca é zero, logo basta resolver
-1 + 4 t = 0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{4}\\ \text{s}.
Portanto a massa passa pela posição de equilíbrio no instante t=\tfrac{1}{4} s.

Passo 6

Determinar o instante do deslocamento máximo (extremo) e a posição nesse instante.
  • Um extremo de x(t) ocorre quando x'(t)=0. Já temos expressão para x'(t); com C_1=-1, C_2=4 ela fica:
x'(t) = \big(4 -4(-1) -16 t\big)e^{-4t} = (8 -16 t)e^{-4t}.
(Fatorando 8: x'(t)=8(1-2t)e^{-4t}.)
  • Zerar x'(t):
8(1-2t)e^{-4t} = 0 \quad\Rightarrow\quad 1-2t = 0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{2}\\ \text{s}.
  • Agora calcule x nesse instante:
x\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \big(-1 + 4\cdot\tfrac{1}{2}\big)e^{-4\cdot \tfrac{1}{2}} = ( -1 + 2 ) e^{-2} = e^{-2}\\ \text{ft}.
  • Interpretação com a convenção de sinais: x=\mathrm{e}^{-2}>0 significa deslocamento para baixo (positivo no nosso eixo). Verificação do caráter do extremo: para t<\tfrac{1}{2} temos x'(t)>0 (movendo-se para baixo) e para t>\tfrac{1}{2} temos x'(t)<0 (movendo-se para cima), portanto t=\tfrac{1}{2} é um máximo local — é o deslocamento máximo para baixo em relação ao equilíbrio.

Resposta

t=\tfrac{1}{4}\\ \text{s}
t=\tfrac{1}{2}\\ \text{s}
x\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\mathrm{e}^{-2}\\ \text{ft}

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