A massa da Terra está em torno de
, seu raio
, sua distância média ao Sol é
, seu período de rotação é de aproximadamente
e seu período de translação em torno do sol é de aproximadamente 365 dias. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme e sua órbita em torno do Sol seja circular. Estime:
O momento angular da Terra relativo a sua rotação em torno do próprio eixo;
O momento angular da Terra relativo a sua rotação em torno do próprio eixo;
Passo 1
O que o problema pede: estimar o momento angular da Terra relativo à sua rotação em torno do próprio eixo (ou seja, o momento angular associado ao giro diário).
Dados fornecidos (vou listar todos, usando exatamente os valores do enunciado):
Observações importantes que vou usar (já assumidas no enunciado):
- A Terra é tratada como uma esfera uniforme.
- Estou estimando apenas o momento angular devido à rotação em torno do próprio eixo (não incluo momento angular orbital em torno do Sol neste item).
Passo 2
Fórmula que vamos usar para o momento angular de um corpo rígido em rotação:
onde:
-
é o momento angular (unidade: ); -
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (unidade: ); -
é a velocidade angular (unidade: , e radiano é adimensional).
Para uma esfera sólida e uniforme (boa aproximação simples para a Terra neste exercício), a fórmula conhecida do momento de inércia em torno de um eixo diametral é
onde
é a massa da esfera e
é o seu raio. Intuição rápida:
mede “quanto” da massa está afastada do eixo; a constante
vem da integração da distribuição uniforme de massa numa esfera — não precisa decorar a derivação agora, só lembrar dessa fórmula padrão.
A velocidade angular
está ligada ao período
por
pois em um giro completo o ângulo descrito é
radianos.
Passo 3
Calcular o momento de inércia
da Terra usando
.
Primeiro calcule
:
Agora multiplico pela massa:
Finalmente aplico o fator
:
Passo 4
Calcular a velocidade angular
usando
.
Usando
,
Passo 5
Agora o momento angular
:
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
logo
Arredondando para três algarismos significativos (suficiente para uma estimativa):
Passo 6
Comentário didático-curto sobre unidades e hipótese: multiplicamos
(unidade
) por
(unidade
); o radiano é adimensional, então
tem unidade
, conforme esperado. A principal fonte de erro nessa estimativa é a suposição de esfera uniforme; a Terra é ligeiramente achatada e tem distribuição de massa não constante, então um valor mais preciso (usando o modelo real de densidade) daria um número um pouco diferente, mas da ordem de
.