A massa da Terra está em torno de m_{T}=5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, seu raio R_{T}=6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}, sua distância média ao Sol é R_{S}=1,49 \times 10^{11} \mathrm{~m}, seu período de rotação é de aproximadamente 24 h e seu período de translação em torno do sol é de aproximadamente 365 dias. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme e sua órbita em torno do Sol seja circular. Estime:
O momento angular da Terra relativo a sua rotação em torno do próprio eixo;

Passo 1

O que o problema pede: estimar o momento angular da Terra relativo à sua rotação em torno do próprio eixo (ou seja, o momento angular associado ao giro diário).
Dados fornecidos (vou listar todos, usando exatamente os valores do enunciado):
m_{T}=5,98\times10^{24}\\ \mathrm{kg}
R_{T}=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m}
\text{período de rotação }T_{\text{rot}}=24\\ \mathrm{h}=24\cdot3600\\ \mathrm{s}=86400\\ \mathrm{s}íçã
Observações importantes que vou usar (já assumidas no enunciado):
  • A Terra é tratada como uma esfera uniforme.
  • Estou estimando apenas o momento angular devido à rotação em torno do próprio eixo (não incluo momento angular orbital em torno do Sol neste item).

Passo 2

Fórmula que vamos usar para o momento angular de um corpo rígido em rotação:
L = I\,\omega
onde:
  • L é o momento angular (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}/s});
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}});
  • \omega é a velocidade angular (unidade: \mathrm{rad/s}, e radiano é adimensional).
Para uma esfera sólida e uniforme (boa aproximação simples para a Terra neste exercício), a fórmula conhecida do momento de inércia em torno de um eixo diametral é
I=\frac{2}{5}\,m\,R^{2},
onde m é a massa da esfera e R é o seu raio. Intuição rápida: I mede “quanto” da massa está afastada do eixo; a constante \tfrac{2}{5} vem da integração da distribuição uniforme de massa numa esfera — não precisa decorar a derivação agora, só lembrar dessa fórmula padrão.
A velocidade angular \omega está ligada ao período T por
\omega=\frac{2\pi}{T},
pois em um giro completo o ângulo descrito é 2\pi radianos.

Passo 3

Calcular o momento de inércia I da Terra usando \,I=\frac{2}{5}m_{T}R_{T}^{2}.
Primeiro calcule R_{T}^{2}:
R_{T}^{2}=(6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m})^{2}=6,37^{2}\times10^{12}\\ \mathrm{m^{2}}.
6,37^{2}=40,5769\quad\Rightarrow\quad R_{T}^{2}=4,05769\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora multiplico pela massa:
m_{T}\,R_{T}^{2}=(5,98\times10^{24})(4,05769\times10^{13})=5,98\cdot4,05769\times10^{37}.
5,98\cdot4,05769\approx24,265\quad\Rightarrow\quad m_{T}R_{T}^{2}\approx2,4265\times10^{38}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Finalmente aplico o fator \tfrac{2}{5}=0,4:
I=\frac{2}{5}m_{T}R_{T}^{2}\approx0,4\cdot2,4265\times10^{38}=9,706\times10^{37}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega usando \omega=\dfrac{2\pi}{T_{\text{rot}}}.
\omega=\frac{2\pi}{86400\\ \mathrm{s}}.
Usando 2\pi\approx6,2831853,
\omega\approx\frac{6,2831853}{86400}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx7,2722\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Agora o momento angular L:
L=I\,\omega \approx(9,706\times10^{37})(7,2722\times10^{-5}).
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
9,706\cdot7,2722\approx70,583\quad\text{e}\quad10^{37}\cdot10^{-5}=10^{32},
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L\approx70,583\times10^{32}=7,0583\times10^{33}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
Arredondando para três algarismos significativos (suficiente para uma estimativa):
L\approx7,06\times10^{33}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Passo 6

Comentário didático-curto sobre unidades e hipótese: multiplicamos I (unidade \mathrm{kg\cdot m^{2}}) por \omega (unidade \mathrm{s^{-1}}); o radiano é adimensional, então L tem unidade \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}, conforme esperado. A principal fonte de erro nessa estimativa é a suposição de esfera uniforme; a Terra é ligeiramente achatada e tem distribuição de massa não constante, então um valor mais preciso (usando o modelo real de densidade) daria um número um pouco diferente, mas da ordem de 10^{33}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Resposta

\;7,06\times10^{33}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}

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