Uma massa de 9 unidades está presa a uma mola de constante elástica 27. Suponha oscilaçino livre e que nïo haja amortecimento.
a) Escreva o PV1 que dá a posição,
da massa em funçĩo do tempo se ela é colocada em movimento a partir da posição 1 com velocidade -1 .
b) Usando o item a) encontre a posiçāo da massa en função do tempo
.
c) Escreva a posição da massa na forma
e
e encontre o primeiro instante de tempo que a massa passa pela posiçāo de equilíbrio.
a) Escreva o PV1 que dá a posição,
b) Usando o item a) encontre a posiçāo da massa en função do tempo
c) Escreva a posição da massa na forma
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado):
-
Dados:
- Massa:
(unidades). - Constante elástica da mola:
. - Não há amortecimento (oscillação livre e sem amortecimento).
- Condições iniciais: posição inicial
e velocidade inicial .
- Massa:
-
O que o enunciado pede:
- (a) Escrever o problema de valor inicial (PVI) que descreve a posição
da massa em função do tempo, usando os dados acima. - (b) Usando o PVI do item (a), encontrar explicitamente a função
. - (c) Reescrever
na forma com e , e encontrar o primeiro instante de tempo em que a massa passa pela posição de equilíbrio ( ).
- (a) Escrever o problema de valor inicial (PVI) que descreve a posição
Passo 2
Montar o modelo físico (a equação diferencial). Explicando devagarinho: para uma massa ligada a uma mola sem amortecimento, a segunda lei de Newton dá
onde
-
é a posição da massa medida a partir do ponto de equilíbrio, -
é a aceleração, -
é a massa e a constante da mola.
Colocando nossos números, o PVI pedido no item (a) é
Passo 3
Determinar a frequência natural
e a solução geral da equação homogênea.
- Para a equação
define-se a frequência angular natural por
Aqui
- A solução geral da equação linear homogênea é combinação linear de cosseno e seno:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Esta forma vem da solução da equação característica associada (valores próprios
) — em linguagem simples: movimento harmônico simples.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para achar
e
. Primeiro escrevo a derivada:
Agora avalio em
:
portanto
E
Logo
Passo 5
Escrever explicitamente
(resposta do item b) e simplificar.
Substituindo
e
na forma geral:
Isso já é a posição da massa em função do tempo — uma forma prática para a prova.
Passo 6
Agora vou transformar a expressão em forma de amplitude e fase
. Método e ideia:
Se
então existe
e
tal que
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes:
Portanto
Vou aplicar isso com
e
.
Passo 7
Calcular
e
numericamente e garantir
.
- Primeiro
:
- Agora
. A razão é
Uma solução para isso é
porque
. Mas o enunciado pede
na forma
. Podemos adicionar
à uma fase sem alterar a cosseno, então tomamos
que é positivo e satisfaz
Portanto a forma pedida é válida com
.
Assim obtemos
Passo 8
Encontrar o primeiro instante
em que a massa passa pela posição de equilíbrio (
).
Uso a forma mais simples
. Podemos rearranjar:
Dividindo por
(quando não é zero), obtemos
As soluções são
Portanto
O menor
ocorre para
, então o primeiro instante é
(Para conferir com a forma de amplitude-fase: zerar o cosseno em
leva a
; escolhendo o inteiro adequado dá o mesmo resultado mínimo positivo.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
Primeiro instante em que :
Primeiro instante em que