Uma massa de 9 unidades está presa a uma mola de constante elástica 27. Suponha oscilaçino livre e que nïo haja amortecimento.
a) Escreva o PV1 que dá a posição, u(t) da massa em funçĩo do tempo se ela é colocada em movimento a partir da posição 1 com velocidade -1 .
b) Usando o item a) encontre a posiçāo da massa en função do tempo t.
c) Escreva a posição da massa na forma R \cos \left(\omega_{0} t-\delta\right), \operatorname{com} R, \omega_{0} e \delta>0 e encontre o primeiro instante de tempo que a massa passa pela posiçāo de equilíbrio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado):
  • Dados:
    • Massa: \;m=9\; (unidades).
    • Constante elástica da mola: \;k=27\;.
    • Não há amortecimento (oscillação livre e sem amortecimento).
    • Condições iniciais: posição inicial \;u(0)=1\; e velocidade inicial \;u'(0)=-1\;.
  • O que o enunciado pede:
    1. (a) Escrever o problema de valor inicial (PVI) que descreve a posição \;u(t) da massa em função do tempo, usando os dados acima.
    2. (b) Usando o PVI do item (a), encontrar explicitamente a função \;u(t).
    3. (c) Reescrever \;u(t) na forma \;R\cos\!\big(\omega_{0}t-\delta\big) com \;R>0,\\ \omega_{0} e \;\delta>0, e encontrar o primeiro instante de tempo t>0 em que a massa passa pela posição de equilíbrio ( u=0).

Passo 2

Montar o modelo físico (a equação diferencial). Explicando devagarinho: para uma massa ligada a uma mola sem amortecimento, a segunda lei de Newton dá
m\,u''(t)+k\,u(t)=0,
onde
  • \;u(t) é a posição da massa medida a partir do ponto de equilíbrio,
  • \;u''(t) é a aceleração,
  • \;m é a massa e \;k a constante da mola.
Colocando nossos números, o PVI pedido no item (a) é
9\,u''(t)+27\,u(t)=0, \qquad u(0)=1,\qquad u'(0)=-1.

Passo 3

Determinar a frequência natural \omega_{0} e a solução geral da equação homogênea.
  • Para a equação
m\,u''+k\,u=0,
define-se a frequência angular natural por
\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Aqui
\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{27}{9}}=\sqrt{3}.
  • A solução geral da equação linear homogênea é combinação linear de cosseno e seno:
u(t)=A\cos\!\big(\omega_{0}t\big)+B\sin\!\big(\omega_{0}t\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais. Esta forma vem da solução da equação característica associada (valores próprios \pm i\omega_{0}) — em linguagem simples: movimento harmônico simples.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar A e B. Primeiro escrevo a derivada:
u'(t)=-A\omega_{0}\sin\!\big(\omega_{0}t\big)+B\omega_{0}\cos\!\big(\omega_{0}t\big).
Agora avalio em t=0:
u(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A = 1,
portanto
A=1.
E
u'(0)=-A\omega_{0}\cdot 0 + B\omega_{0}\cdot 1 = B\omega_{0} = -1.
Logo
B=\dfrac{-1}{\omega_{0}}=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Escrever explicitamente \;u(t) (resposta do item b) e simplificar.
Substituindo A e B na forma geral:
u(t)=\cos\!\big(\sqrt{3}\,t\big)-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\!\big(\sqrt{3}\,t\big).
Isso já é a posição da massa em função do tempo — uma forma prática para a prova.

Passo 6

Agora vou transformar a expressão em forma de amplitude e fase \;R\cos(\omega_{0}t-\delta). Método e ideia:
Se
u(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t),
então existe R>0 e \delta tal que
u(t)=R\cos(\omega_{0}t-\delta).
Expandindo o lado direito:
R\cos(\omega_{0}t-\delta)=R\cos\delta\cos(\omega_{0}t)+R\sin\delta\sin(\omega_{0}t).
Comparando coeficientes:
A=R\cos\delta,\qquad B=R\sin\delta.
Portanto
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}},\qquad \tan\delta=\dfrac{B}{A}.
Vou aplicar isso com A=1 e B=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Calcular R e \delta numericamente e garantir \delta>0.
  • Primeiro R:
R=\sqrt{1^{2}+\Big(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • Agora \delta. A razão é
\tan\delta=\dfrac{B}{A}=\dfrac{-1/\sqrt{3}}{1}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Uma solução para isso é \delta=-\dfrac{\pi}{6} porque \tan\big(-\tfrac{\pi}{6}\big)=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Mas o enunciado pede \delta>0 na forma \cos(\omega_{0}t-\delta). Podemos adicionar 2\pi à uma fase sem alterar a cosseno, então tomamos
\delta = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6},
que é positivo e satisfaz
\cos\delta=\dfrac{A}{R}=\dfrac{1}{2/\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\delta=\dfrac{B}{R}=-\dfrac{1}{2}.
Portanto a forma pedida é válida com \delta=\dfrac{11\pi}{6}.
Assim obtemos
u(t)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos\!\Big(\sqrt{3}\,t-\dfrac{11\pi}{6}\Big), \qquad R=\dfrac{2}{\sqrt{3}},\qquad \omega_{0}=\sqrt{3},\qquad \delta=\dfrac{11\pi}{6}.

Passo 8

Encontrar o primeiro instante t>0 em que a massa passa pela posição de equilíbrio ( u(t)=0).
Uso a forma mais simples u(t)=\cos(\sqrt{3}t)-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}t)=0. Podemos rearranjar:
\cos(\sqrt{3}t)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}t).
Dividindo por \cos(\sqrt{3}t) (quando não é zero), obtemos
\tan(\sqrt{3}t)=\sqrt{3}.
As soluções são
\sqrt{3}t=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto
t=\dfrac{\pi/3 + k\pi}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}+\dfrac{k\pi}{\sqrt{3}}.
O menor t>0 ocorre para k=0, então o primeiro instante é
t=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}.
(Para conferir com a forma de amplitude-fase: zerar o cosseno em R\cos(\sqrt{3}t-\delta)=0 leva a \sqrt{3}t-\delta=\frac{\pi}{2}+n\pi; escolhendo o inteiro adequado dá o mesmo resultado mínimo positivo.)

Resposta

(a) 9\,u''(t)+27\,u(t)=0,\quad u(0)=1,\quad u'(0)=-1.
(b) u(t)=\cos\!\big(\sqrt{3}\,t\big)-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\!\big(\sqrt{3}\,t\big).
(c) u(t)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos\!\Big(\sqrt{3}\,t-\dfrac{11\pi}{6}\Big),\quad R=\dfrac{2}{\sqrt{3}},\\ \omega_{0}=\sqrt{3},\\ \delta=\dfrac{11\pi}{6}.
Primeiro instante em que u(t)=0: t=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}.

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