Prove as identidades vetoriais abaixo.
Regra do produto para divergente:
abla cdot( phi \mathbf{A})=
abla phi cdot \mathbf{A}+ phi(
abla cdot \mathbf{A})
Regra do produto para divergente:
abla cdot( phi \mathbf{A})=
abla phi cdot \mathbf{A}+ phi(
abla cdot \mathbf{A})
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: provar a identidade
Aqui
é um campo escalar (uma função diferenciável de posição) e
é um campo vetorial cujas componentes são diferenciáveis. Vou trabalhar em
com coordenadas cartesianas
. O objetivo é mostrar, passo a passo, por que a divergência do produto escalar-por-vetor satisfaz essa regra do produto.
Passo 2
Definições e notação (para não ficar perdido):
- O operador nabla é
, onde é abreviação de , etc. - O gradiente de
é o vetor
- A divergência de
é o escalar
- O produto escalar entre vetores é, por componentes,
- O produto
tem componentes .
Passo 3
Escrever a divergência do produto em componentes:
Agora use a regra do produto para derivadas parciais: se
e
são funções diferenciáveis, então
. Aplicando isto a cada termo
(onde
).
Passo 4
Aplicando a regra do produto a cada termo obtemos
Somando os três termos:
Passo 5
Reconhecendo as expressões por definição:
- O primeiro grupo de termos é exatamente o produto escalar entre
e :
- O segundo grupo é
vezes a divergência de :
Portanto juntando:
Passo 6
Observação alternativa (mais compacta, se curtir notação índice): usando a convenção de soma de Einstein,
Condição técnica: precisa-se apenas que
e as componentes
sejam diferenciáveis na região considerada.
Passo 7
Recapitulando de forma amigável: a identidade é simplesmente a regra do produto aplicada componente a componente, seguida de reconhecimento das definições de gradiente e divergência. Se na prova aparecer, lembra: “deriva componente a componente” e junta os dois pedaços — um vira
e o outro vira
. Você consegue!