Prove as identidades vetoriais abaixo.
Regra do produto para divergente:
abla cdot( phi \mathbf{A})=
abla phi cdot \mathbf{A}+ phi(
abla cdot \mathbf{A})

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: provar a identidade
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\nabla\varphi\cdot\mathbf{A}+\varphi(\nabla\cdot\mathbf{A}).
Aqui \varphi é um campo escalar (uma função diferenciável de posição) e \mathbf{A} é um campo vetorial cujas componentes são diferenciáveis. Vou trabalhar em \mathbb{R}^3 com coordenadas cartesianas (x,y,z). O objetivo é mostrar, passo a passo, por que a divergência do produto escalar-por-vetor satisfaz essa regra do produto.

Passo 2

Definições e notação (para não ficar perdido):
  • O operador nabla é \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z), onde \partial_x é abreviação de \dfrac{\partial}{\partial x}, etc.
  • O gradiente de \varphi é o vetor
\nabla\varphi=(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi,\partial_z\varphi).
  • A divergência de \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) é o escalar
\nabla\cdot\mathbf{A}=\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z.
  • O produto escalar entre vetores é, por componentes,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z.
  • O produto \varphi\mathbf{A} tem componentes (\varphi A_x,\varphi A_y,\varphi A_z).

Passo 3

Escrever a divergência do produto em componentes:
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\partial_x(\varphi A_x)+\partial_y(\varphi A_y)+\partial_z(\varphi A_z).
Agora use a regra do produto para derivadas parciais: se f e g são funções diferenciáveis, então \partial_x(fg)=(\partial_x f)g+f(\partial_x g). Aplicando isto a cada termo \partial_{x_i}(\varphi A_{x_i}) (onde x_1=x,x_2=y,x_3=z).

Passo 4

Aplicando a regra do produto a cada termo obtemos
\partial_x(\varphi A_x)=(\partial_x\varphi)A_x+\varphi(\partial_x A_x),
\partial_y(\varphi A_y)=(\partial_y\varphi)A_y+\varphi(\partial_y A_y),
\partial_z(\varphi A_z)=(\partial_z\varphi)A_z+\varphi(\partial_z A_z).
Somando os três termos:
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=(\partial_x\varphi)A_x+(\partial_y\varphi)A_y+(\partial_z\varphi)A_z +\varphi\big(\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z\big).

Passo 5

Reconhecendo as expressões por definição:
  • O primeiro grupo de termos é exatamente o produto escalar entre \nabla\varphi e \mathbf{A}:
(\partial_x\varphi)A_x+(\partial_y\varphi)A_y+(\partial_z\varphi)A_z=\nabla\varphi\cdot\mathbf{A}.
  • O segundo grupo é \varphi vezes a divergência de \mathbf{A}:
\varphi\big(\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z\big)=\varphi(\nabla\cdot\mathbf{A}).
Portanto juntando:
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\nabla\varphi\cdot\mathbf{A}+\varphi(\nabla\cdot\mathbf{A}).

Passo 6

Observação alternativa (mais compacta, se curtir notação índice): usando a convenção de soma de Einstein,
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\partial_i(\varphi A_i)=(\partial_i\varphi)A_i+\varphi(\partial_i A_i)=\nabla\varphi\cdot\mathbf{A}+\varphi(\nabla\cdot\mathbf{A}).
Condição técnica: precisa-se apenas que \varphi e as componentes A_i sejam diferenciáveis na região considerada.

Passo 7

Recapitulando de forma amigável: a identidade é simplesmente a regra do produto aplicada componente a componente, seguida de reconhecimento das definições de gradiente e divergência. Se na prova aparecer, lembra: “deriva componente a componente” e junta os dois pedaços — um vira \nabla\varphi\cdot\mathbf{A} e o outro vira \varphi(\nabla\cdot\mathbf{A}). Você consegue!

Resposta

\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\nabla\varphi\cdot\mathbf{A}+\varphi(\nabla\cdot\mathbf{A})

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