Exercício 8. Um sistema de defesa antiaérea detecta o lançamento de um míssil inimigo. A telemetria não fornece a posição imediata do míssil, mas sim a sua função vetorial de velocidade, dada \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{min} :
\vec{v}_{m}(t)=(3,2,4 t)
Sabe-se que no instante da detecção ( t=0 ), o míssil estava exatamente na origem do sistema de coordenadas da base, ou seja, \vec{r}_{m}(0)=(0,0,0). Um minuto após a detecção (t=1), a base lança um interceptador. A trajetória desse interceptador é programada e segue a função vetorial de posição
\vec{r}_{i}(t)=\left(t^{2}, 3(t-1), 9(t-1)\right) \quad \text { para } \quad t \geq 1
Com base nesses dados, resolva:
(a) O interceptador conseguirá atingir o míssil inimigo?
(b) Para que a ogiva do interceptador seja armada e detonada com eficiência máxima, os engenheiros precisam saber a rapidez (módulo da velocidade) do interceptador no exato momento do impacto. Calcule o vetor velocidade do interceptador \vec{v}_{i}(t) e a sua rapidez no instante da colisão.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar direitinho para não nos perdermos):
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade do míssil: \vec{v}_{m}(t)=(3,2,4t) em \mathrm{km/min}.
    • Posição inicial do míssil: \vec{r}_{m}(0)=(0,0,0).
    • Posição do interceptador (válida para t\ge 1): \vec{r}_{i}(t)=\left(t^{2},3(t-1),9(t-1)\right) em \mathrm{km}.
    • O interceptador é lançado em t=1 minuto.
  • Perguntas:
    (a) O interceptador conseguirá atingir o míssil inimigo? (ou seja, existe t\ge 1 tal que \vec{r}_{i}(t)=\vec{r}_{m}(t)?)
    (b) Calcular \vec{v}_{i}(t) (vetor velocidade do interceptador) e a rapidez (módulo de \vec{v}_{i}) no instante da colisão.

Passo 2

Encontrar a posição do míssil a partir da velocidade. Conceito e procedimento:
  • Uma função vetorial de velocidade \vec{v}(t) é a derivada da posição \vec{r}(t): \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
  • Para recuperar \vec{r}(t) integra-se componente a componente: \vec{r}(t)=\int \vec{v}(t)\,dt + \vec{C}, onde \vec{C} é o vetor de constantes determinado por condições iniciais.
Aplicando ao míssil:
\vec{v}_{m}(t)=(3,2,4t).
Integrando componente a componente:
\int 3\,dt = 3t + C_1,\qquad \int 2\,dt = 2t + C_2,\qquad \int 4t\,dt = 2t^{2} + C_3.
Portanto
\vec{r}_{m}(t)=(3t+C_1,\;2t+C_2,\;2t^{2}+C_3).
Usando a condição \vec{r}_{m}(0)=(0,0,0) (isto é, no instante da detecção o míssil estava na origem), obtemos C_1=C_2=C_3=0. Logo:
\boxed{\vec{r}_{m}(t)=(3t,\;2t,\;2t^{2})}.

Passo 3

Determinar se existe t\ge 1 tal que \vec{r}_{i}(t)=\vec{r}_{m}(t). Procedimento:
  • Igualar as componentes de \vec{r}_{i}(t) e \vec{r}_{m}(t) e resolver para t.
Escrevendo as igualdades:
(1)\quad 3t = t^{2},
(2)\quad 2t = 3(t-1),
(3)\quad 2t^{2} = 9(t-1).
Resolver (1):
t^{2}-3t=0 \quad\Rightarrow\quad t(t-3)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0\\ \text{ou}\\ t=3.
Resolver (2):
2t = 3t-3 \quad\Rightarrow\quad -t = -3 \quad\Rightarrow\quad t=3.
Resolver (3): é uma equação quadrática,
2t^{2}=9t-9 \quad\Rightarrow\quad 2t^{2}-9t+9=0.
Calcular o discriminante:
\Delta = (-9)^{2}-4\cdot2\cdot9 = 81-72=9.
Raízes:
t=\frac{9\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{9\pm3}{4}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{12}{4}=3\quad\text{ou}\quad t=\frac{6}{4}=1{,}5.
Interpretação das soluções:
  • Da componente x obtivemos t=0 ou t=3. t=0 não serve porque o interceptador só existe a partir de t=1.
  • A componente y t=3.
  • A componente z permite t=1{,}5 ou t=3, mas todas as três componentes devem ser iguais ao mesmo t.
  • O único t comum a todas as equações e com t\ge 1 é t=3.
Portanto existe colisão em t=3 minutos. Calcular a posição de colisão (usar qualquer das duas funções; por consistência uso \vec{r}_{m}(3)):
\vec{r}_{m}(3)=(3\cdot 3,\;2\cdot 3,\;2\cdot 3^{2})=(9,\;6,\;18)\\ \text{(km)}.
Conclusão parcial: o interceptador atinge o míssil em t=3 min no ponto (9,6,18)\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Encontrar o vetor velocidade do interceptador. Conceito e procedimento:
  • A velocidade é a derivada da posição: \vec{v}_{i}(t)=\dfrac{d\vec{r}_{i}}{dt}.
  • Deriva-se componente a componente; regras básicas: \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t e \dfrac{d}{dt}\big(a(t-1)\big)=a quando a é constante.
Aplicando a \vec{r}_{i}(t)=\left(t^{2},3(t-1),9(t-1)\right):
\boxed{\vec{v}_{i}(t)=\big(2t,\;3,\;9\big)}\qquad\text{(em \(\mathrm{km/min}\), válida para \(t\ge 1\)).}á
Avaliar no instante da colisão t=3:
\vec{v}_{i}(3)=(2\cdot 3,\;3,\;9)=(6,\;3,\;9)\\ \mathrm{km/min}.

Passo 5

Calcular a rapidez (módulo da velocidade) no instante da colisão. Conceito e procedimento:
  • A rapidez é a norma euclidiana do vetor velocidade: \|\vec{v}\|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}.
  • Substituir as componentes de \vec{v}_{i}(3).
Cálculo:
\|\vec{v}_{i}(3)\|=\sqrt{6^{2}+3^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+9+81}=\sqrt{126}.
Simplificando:
\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot 14}=3\sqrt{14}.
Valor aproximado (para referência prática):
3\sqrt{14}\approx 3\cdot 3{,}741657\approx 11{,}225\\ \mathrm{km/min}.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido para a prova (dicas práticas):
  • Integração e diferenciação de vetores fazem-se componente a componente.
  • Para checar colisão iguale as posições e resolva o sistema; sempre verifique a condição de tempo (aqui t\ge 1).
  • Para rapidez, use a raiz da soma dos quadrados das componentes da velocidade.
  • Fica a dica: quando aparecer uma quadrática como aqui, verifique sempre todas as componentes; às vezes uma componente dá raízes extras que não satisfazem as outras.

Resposta

(a) Sim. Ocorre colisão em t=3 min no ponto \vec{r}=(9,6,18)\\ \mathrm{km}.
(b) \vec{v}_{i}(t)=(2t,3,9). Em t=3: \vec{v}_{i}(3)=(6,3,9)\\ \mathrm{km/min} e a rapidez é \|\vec{v}_{i}(3)\|=3\sqrt{14}\\ \mathrm{km/min}\approx 11{,}225\\ \mathrm{km/min}.

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