Exercício 8. Um sistema de defesa antiaérea detecta o lançamento de um míssil inimigo. A telemetria não fornece a posição imediata do míssil, mas sim a sua função vetorial de velocidade, dada
:
Sabe-se que no instante da detecção (
), o míssil estava exatamente na origem do sistema de coordenadas da base, ou seja,
. Um minuto após a detecção
, a base lança um interceptador. A trajetória desse interceptador é programada e segue a função vetorial de posição
Com base nesses dados, resolva:
(a) O interceptador conseguirá atingir o míssil inimigo?
(b) Para que a ogiva do interceptador seja armada e detonada com eficiência máxima, os engenheiros precisam saber a rapidez (módulo da velocidade) do interceptador no exato momento do impacto. Calcule o vetor velocidade do interceptador
e a sua rapidez no instante da colisão.
(a) O interceptador conseguirá atingir o míssil inimigo?
(b) Para que a ogiva do interceptador seja armada e detonada com eficiência máxima, os engenheiros precisam saber a rapidez (módulo da velocidade) do interceptador no exato momento do impacto. Calcule o vetor velocidade do interceptador
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar direitinho para não nos perdermos):
-
Dados fornecidos:
- Velocidade do míssil:
em . - Posição inicial do míssil:
. - Posição do interceptador (válida para
): em . - O interceptador é lançado em
minuto.
- Velocidade do míssil:
-
Perguntas:
(a) O interceptador conseguirá atingir o míssil inimigo? (ou seja, existetal que ?)
(b) Calcular(vetor velocidade do interceptador) e a rapidez (módulo de ) no instante da colisão.
Passo 2
Encontrar a posição do míssil a partir da velocidade. Conceito e procedimento:
- Uma função vetorial de velocidade
é a derivada da posição : . - Para recuperar
integra-se componente a componente: , onde é o vetor de constantes determinado por condições iniciais.
Aplicando ao míssil:
Integrando componente a componente:
Portanto
Usando a condição
(isto é, no instante da detecção o míssil estava na origem), obtemos
. Logo:
Passo 3
Determinar se existe
tal que
. Procedimento:
- Igualar as componentes de
e e resolver para .
Escrevendo as igualdades:
Resolver (1):
Resolver (2):
Resolver (3): é uma equação quadrática,
Calcular o discriminante:
Raízes:
Interpretação das soluções:
- Da componente
obtivemos ou . não serve porque o interceptador só existe a partir de . - A componente
dá . - A componente
permite ou , mas todas as três componentes devem ser iguais ao mesmo . - O único
comum a todas as equações e com é .
Portanto existe colisão em
minutos. Calcular a posição de colisão (usar qualquer das duas funções; por consistência uso
):
Conclusão parcial: o interceptador atinge o míssil em
min no ponto
.
Passo 4
Encontrar o vetor velocidade do interceptador. Conceito e procedimento:
- A velocidade é a derivada da posição:
. - Deriva-se componente a componente; regras básicas:
e quando é constante.
Aplicando a
:
Avaliar no instante da colisão
:
Passo 5
Calcular a rapidez (módulo da velocidade) no instante da colisão. Conceito e procedimento:
- A rapidez é a norma euclidiana do vetor velocidade:
. - Substituir as componentes de
.
Cálculo:
Simplificando:
Valor aproximado (para referência prática):
Passo 6
Resumo interpretativo rápido para a prova (dicas práticas):
- Integração e diferenciação de vetores fazem-se componente a componente.
- Para checar colisão iguale as posições e resolva o sistema; sempre verifique a condição de tempo (aqui
). - Para rapidez, use a raiz da soma dos quadrados das componentes da velocidade.
- Fica a dica: quando aparecer uma quadrática como aqui, verifique sempre todas as componentes; às vezes uma componente dá raízes extras que não satisfazem as outras.
Resposta
(a) Sim. Ocorre colisão em
min no ponto
.
(b)
. Em
:
e a rapidez é
.