Uma massa está vibrando na extremidade de uma mola com constante de força k=180 N / m. No instante inicial (t=0), a amplitude da oscilação (elongação máxima) é A0=10.0 cm. O período de oscilação observado para o sistema massa-mola é T=1.5 s. Devido a forças dissipativas, a amplitude da oscilação diminui com o tempo. Observa-se que no instante t1=0.75 s, a amplitude da oscilação é A1=7.0 cm, e no instante t2=3.0 s, a amplitude é A2=4.0 cm. ( 2 0 pontos) Considerando essas informações, responda:
(a) Supondo que em t=0 a massa se encontra na sua elongação máxima positiva, em que instantes de tempo, durante os dois primeiros ciclos completos de oscilação, a velocidade da massa é nula?
(b) Qual era a energia mecânica total do sistema no instante inicial (t=0) ? Expresse sua resposta
(c) Quanta energia mecânica o sistema perdeu entre os instantes t1=0.75 s e t2=3.0 s ? Expresse em joules.
(d) Qual é o valor da massa do corpo que está oscilando? Expresse sua resposta em quilogramas. sua resposta em joules.
EXTRA - Faça um esboço do grafíco da questão anterior e escreva as expressões horárias da posição, velocidade e aceleração em função do tempo para o sistema analisado. (1.0 pontos)

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola levemente amortecido com constante elástica k=180 N/m. No instante t=0 a elongação máxima é A0=0,10 m e o período observado é T=1,5 s. As amplitudes em t1=0,75 s e t2=3,0 s são A1=0,07 m e A2=0,04 m. Vamos determinar:
(a) instantes em que v=0 nos dois primeiros ciclos,
(b) energia mecânica inicial,
(c) energia perdida entre t1 e t2,
(d) massa do oscilador,
(e) esboço qualitativo de x(t) e as expressões horárias de x(t), v(t) e a(t).

Passo 2

(a) Num oscilador amortecido, a velocidade anula-se nos extremos de elongação, que se repetem de meio período em meio período. Como o período observado é T=1,5 s, os instantes em que v=0 são
tn = n,T2, n=0,1,2,3,4
Isto é
t=0, 0,75 s, 1,50 s, 2,25 s, 3,00 s

Passo 3

(b) A energia mecânica total num oscilador elástico sem perda, na elongação máxima, é
E = tfrac12,k,A0^2
Substituindo k=180 N/m e A0=0,10 m:
E = tfrac12times180times(0,10)^2 =0,90 J

Passo 4

(c) Entre t1 e t2 a energia passa de
E1 = tfrac12,k,A1^2 = tfrac12times180times(0,07)^2 =0,441 J
para
E2 = tfrac12,k,A2^2 = tfrac12times180times(0,04)^2 =0,144 J
Logo a energia perdida é
De<a E = E1 - E2 =0,441 - 0,144 =0,297 J

Passo 5

(d) O período amortecido T é dado por T = tfrac2piomegad, mas como o amortecimento é fraco podemos usar omegadapproxomega0=raizk/m. Assim
T = 2piraizmk Longrightarrow m = kl(T2pir)^2 =180l(1,52pir)^2approx10,25 kg

Passo 6

(e) A envoltória exponencial decai segundo A(t)=A0e^-beta t. A constante de amortecimento beta obtém-se de
A1A0=e^-beta t1 Longrightarrow beta = 1t1lnA0A1 = 10,75ln0,100,07approx0,4756 s^-1
Como o período observado é T=1,5 s, a frequência angular amortecida é
omegad = 2piTapprox4,189 s^-1
As expressões horárias, assumindo fase zero em t=0, são:
x(t) = A0,e^-beta tcos(omegad t),
v(t) = dxdt = -A0,e^-beta tl[betacos(omegad t)+omegadsin(omegad t)r],
a(t) = dvdt = A0,e^-beta tl[beta^2cos(omegad t) +2betaomegadsin(omegad t)-omegad^2cos(omegad t)r]
Esboço qualitativo de x(t): uma função oscilatória (cosseno) com amplitude decaindo exponencialmente.

Resposta

(a) t=0, 0,75 s, 1,50 s, 2,25 s, 3,00 s
(b) 0,90 J
(c) 0,297 J
(d) 10,25 kg
(e)
x(t)=0,10,e^-0,4756,tcos(4,189,t)
v(t)=-0,10,e^-0,4756,t[;0,4756cos(4,189,t)+4,189sin(4,189,t);]
a(t)=0,10,e^-0,4756,t[,0,4756^2cos(4,189,t)+2cdot0,4756cdot4,189sin(4,189,t)-4,189^2cos(4,189,t),]
Esboço: oscilação em cosseno com amplitude decaindo exponencialmente.

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