Uma massa está vibrando na extremidade de uma mola com constante de força
. No instante inicial
, a amplitude da oscilação (elongação máxima) é
. O período de oscilação observado para o sistema massa-mola é
. Devido a forças dissipativas, a amplitude da oscilação diminui com o tempo. Observa-se que no instante
, a amplitude da oscilação é
, e no instante
, a amplitude é
. (
pontos) Considerando essas informações, responda:
(a) Supondo que em
a massa se encontra na sua elongação máxima positiva, em que instantes de tempo, durante os dois primeiros ciclos completos de oscilação, a velocidade da massa é nula?
(b) Qual era a energia mecânica total do sistema no instante inicial
? Expresse sua resposta
(c) Quanta energia mecânica o sistema perdeu entre os instantes
e
? Expresse em joules.
(d) Qual é o valor da massa do corpo que está oscilando? Expresse sua resposta em quilogramas. sua resposta em joules.
EXTRA - Faça um esboço do grafíco da questão anterior e escreva as expressões horárias da posição, velocidade e aceleração em função do tempo para o sistema analisado. (1.0 pontos)
(a) Supondo que em
(b) Qual era a energia mecânica total do sistema no instante inicial
(c) Quanta energia mecânica o sistema perdeu entre os instantes
(d) Qual é o valor da massa do corpo que está oscilando? Expresse sua resposta em quilogramas. sua resposta em joules.
EXTRA - Faça um esboço do grafíco da questão anterior e escreva as expressões horárias da posição, velocidade e aceleração em função do tempo para o sistema analisado. (1.0 pontos)
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa-mola levemente amortecido com constante elástica
. No instante
a elongação máxima é
e o período observado é
. As amplitudes em
e
são
e
. Vamos determinar:
(a) instantes em que nos dois primeiros ciclos,
(b) energia mecânica inicial,
(c) energia perdida entre e
,
(d) massa do oscilador,
(e) esboço qualitativo de e as expressões horárias de
,
e
.
(a) instantes em que
(b) energia mecânica inicial,
(c) energia perdida entre
(d) massa do oscilador,
(e) esboço qualitativo de
Passo 2
(a) Num oscilador amortecido, a velocidade anula-se nos extremos de elongação, que se repetem de meio período em meio período. Como o período observado é
, os instantes em que
são
Isto é
Passo 3
(b) A energia mecânica total num oscilador elástico sem perda, na elongação máxima, é
Substituindo
e
:
Passo 4
(c) Entre
e
a energia passa de
para
Logo a energia perdida é
Passo 5
(d) O período amortecido
é dado por
, mas como o amortecimento é fraco podemos usar
. Assim
Passo 6
(e) A envoltória exponencial decai segundo
. A constante de amortecimento
obtém-se de
Como o período observado é
, a frequência angular amortecida é
As expressões horárias, assumindo fase zero em
, são:
Esboço qualitativo de
: uma função oscilatória (cosseno) com amplitude decaindo exponencialmente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Esboço: oscilação em cosseno com amplitude decaindo exponencialmente.
(b)
(c)
(d)
(e)
Esboço: oscilação em cosseno com amplitude decaindo exponencialmente.