Um massalote cilíndrico deve ser projetado para um molde de fundição em areia. 0 comprimento do cilindro deve ser 1,25 vezes o seu diâmetro. O fundido é uma placa quadrada com cada lado igual a 10 in . Se o metal é ferro fundido e a constante do molde da regra de chvorino é 16 \mathrm{~min} / \mathrm{in}^{\wedge} 2. Determine as dimensões do massalote de forma que ele leve 30 \% a mais de tempo que a peça para se solidificar.

Passo 1

O enunciado e dados (vou listar tudo de forma clara e completa):
  • O fundido é uma placa quadrada com cada lado igual a 10\,\text{in}.
  • Não foi informada a espessura da placa; vou adotar a hipótese usual em exercícios deste tipo: espessura da placa igual a 1\,\text{in}. Ou seja, dimensões da placa: 10\times10\times1 (polegadas).
  • O massalote é cilíndrico e seu comprimento deve ser 1{,}25 vezes o diâmetro. Em fórmulas: se o diâmetro for \,D, então o comprimento (altura) é \,L=1{,}25\,D.
  • A constante da regra de Chvorinov (constante do molde para ferro fundido) vale \,C=16\\ \text{min}/\text{in}^2.
  • A exigência de projeto: o massalote deve levar 30\% a mais de tempo para solidificar do que a peça. Em fórmula: \,t_{\text{massalote}}=1{,}30\,t_{\text{peça}}ç.
Informações que vamos precisar calcular: volumes e áreas de superfície que trocam calor com o molde (as superfícies expostas ao molde). Vou usar a hipótese padrão para o massalote conectado à peça: a face de contato com a peça não resfria pelo molde, portanto a área efetiva de troca do massalote é a área lateral mais a face superior (não incluir a base que toca a peça).

Passo 2

Explicação da teoria que vamos usar (aula curta e prática sobre a regra de Chvorinov).
  • A regra de Chvorinov diz que o tempo de solidificação de uma peça fundida é proporcional ao quadrado da razão volume/área de troca térmica:
t = C\left(\frac{V}{A}\right)^{2},
onde:
  • t é o tempo de solidificação (minutos),
  • C é a constante do molde ( \text{min}/\text{in}^2),
  • V é o volume da peça (polegadas cúbicas),
  • A é a área da superfície em contato com o molde que troca calor (polegadas quadradas).
  • Para comparar duas peças (massalote e peça), o fator C é o mesmo (mesmo metal e mesmo molde), então:
\frac{t_{\text{massalote}}}{t_{\text{peça}}} = \left(\frac{(V/A)_{\text{massalote}}}{(V/A)_{\text{peça}}}\right)^2.çç
Se queremos t_{\text{massalote}}=1{,}30\,t_{\text{peça}}ç, então a razão dos fatores V/A deve ser \sqrt{1{,}30}.
Agora vamos calcular V e A para cada corpo.
Cálculo para a placa (peça):
  • Dimensões: a=10\,\text{in}, b=10\,\text{in}, espessura h=1\,\text{in}.
  • Volume da placa:
V_{\text{placa}} = a\cdot b \cdot h = 10\cdot 10\cdot 1 = 100\\ \text{in}^3.
  • Área de superfície em contato com o molde: toda a superfície externa da placa (duas faces grandes + bordas). As duas faces grandes têm área 2\cdot (10\cdot 10)=2\cdot100. As quatro arestas (bordas) têm área igual ao perímetro vezes a espessura: 4\cdot 10\cdot 1 = 40. Logo
A_{\text{placa}} = 2\cdot 100 + 40 = 240\\ \text{in}^2.
  • Razão V/A da placa:
\left(\frac{V}{A}\right)_{\text{placa}} = \frac{100}{240} = \frac{5}{12}\\ \text{in}.
Cálculo para o massalote cilíndrico:
  • Diâmetro \,D (desconhecido), comprimento L=1{,}25\,D.
  • Volume do cilindro:
V_{\text{massalote}} = \frac{\pi D^{2}}{4}\,L = \frac{\pi D^{2}}{4}\cdot(1{,}25\,D) = \frac{5}{16}\pi D^{3}.
(Explicação: \pi D^2/4 é a área da base circular; multiplicando por L dá o volume.)
  • Área de superfície em contato com o molde (não contamos a base que toca a peça): área lateral + área do topo:
A_{\text{massalote}} = \text{lateral} + \text{topo} = \pi D L + \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo L=1{,}25\,D:
A_{\text{massalote}} = \pi D (1{,}25\,D) + \frac{\pi D^{2}}{4} = \left(1{,}25 + 0{,}25\right)\pi D^{2} = 1{,}5\pi D^{2} = \frac{3}{2}\pi D^{2}.
  • Razão V/A do massalote:
\left(\frac{V}{A}\right)_{\text{massalote}} = \frac{\dfrac{5}{16}\pi D^{3}}{\dfrac{3}{2}\pi D^{2}} = \frac{5}{16}\cdot\frac{2}{3}\,D = \frac{5}{24}\,D.
(Observe que o \pi e um fator D^2 cancelam.)

Passo 3

Aplicar a condição de tempos: queremos
t_{\text{massalote}} = 1{,}30\,t_{\text{placa}}.
Pela regra de Chvorinov isso implica
\left(\frac{(V/A)_{\text{massalote}}}{(V/A)_{\text{placa}}}\right)^{2} = 1{,}30.
Tomando raiz quadrada:
\frac{(V/A)_{\text{massalote}}}{(V/A)_{\text{placa}}}=\sqrt{1{,}30}.
Substituindo os valores que achamos:
\frac{\tfrac{5}{24}D}{\tfrac{5}{12}}=\sqrt{1{,}30}.
Simplificando (dividindo por \tfrac{5}{12}):
\frac{5}{24}D \cdot \frac{12}{5} = \sqrt{1{,}30} \quad\Rightarrow\quad \frac{12}{24}D = \sqrt{1{,}30} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}D = \sqrt{1{,}30}.
Logo
D = 2\sqrt{1{,}30}.

Passo 4

Cálculo numérico e obtenção de dimensões finais:
  • Primeiro a raiz:
\sqrt{1{,}30}\approx 1{,}140175425\\ \text{(valor aproximado)}.
  • Diâmetro:
D = 2\sqrt{1{,}30}\approx 2\cdot 1{,}140175425 \approx 2{,}28035085\\ \text{in}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
D \approx 2{,}28\\ \text{in}.
  • Comprimento L = 1{,}25\,D:
L \approx 1{,}25\cdot 2{,}28035085 \approx 2{,}85043856\\ \text{in}
Arredondando:
L \approx 2{,}85\\ \text{in}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (cheiro de resultado): as dimensões obtidas são pequenas, o que faz sentido porque a peça é fina ( 10\times10\times1). O método é direto e usa somente a regra de Chvorinov e as fórmulas geométricas básicas; se a espessura da placa fosse diferente, o resultado mudaria — por isso deixei explícita a suposição de espessura 1\,\text{in}.

Resposta

D \approx 2{,}28\\ \text{in}
L \approx 2{,}85\\ \text{in}

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