Calcule a intensidade de nucleação homogênea (I) para o sub-resfriamento de 20k e 150k para um determinado material com as seguintes características: \mathrm{Tf}=933 \mathrm{k}, \mathrm{L}=397,5 \mathrm{kj} / \mathrm{kg}, \sigma \mathrm{sl}=1,21^{*} 10^{\wedge}-3 \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{\wedge} 2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de fusão: \mathrm{T_f}=933\\ \mathrm{K}.
    • Calor latente por unidade de massa: L=397{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} = 397\,500\\ \mathrm{J/kg}.
    • Energia interfacial sólido–líquido: \sigma_{sl}=1{,}21\times10^{-3}\\ \mathrm{J/m^2}.
  • O que é pedido:
    • Calcular a intensidade de nucleação homogênea I para os sub-resfriamentos \Delta T=20\\ \mathrm{K} e \Delta T=150\\ \mathrm{K}.
Informação extra importante (não dada explicitamente no enunciado):
  • Para obter I numericamente é preciso conhecer o fator pré-exponencial (prefator) \,I_0 e a densidade do material \rho (aparecem na expressão de \Delta g_v e em I_0). O enunciado não informou \rho nem I_0.
  • Vou assumir que o material é alumínio (isto é consistente com \mathrm{T_f}=933\\ \mathrm{K} e L dado) e usar:
    • densidade \rho=2700\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico do alumínio sólido próximo à fusão);
    • prefator cinético típico para metais I_0=1{,}0\times10^{40}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}} (essa é uma estimativa comum que combina densidade atômica, frequência de tentativa e fatores cinéticos).
  • Aviso: os resultados numéricos abaixo dependem dessas suposições; se \rho ou I_0 forem diferentes, I muda muito. Também comentarei a plausibilidade física dos números ao final.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (teoria clássica da nucleação homogênea, explicada passo a passo).
  • Ideia física: para formar um núcleo sólido numa líquida sub-resfriada há um custo de energia de superfície (proporcional a \sigma_{sl}) e um ganho volumétrico (proporcional ao ganho de energia livre por volume \Delta g_v). A competição define uma barreira de formação de núcleo de energia livre \Delta G^*. A taxa de nucleação homogênea segue, na forma simplificada,
I = I_0 \exp\!\left(-\frac{\Delta G^*}{k_B T}\right),
onde:
  • I é a intensidade de nucleação (número de núcleos formados por unidade de volume por unidade de tempo), unidades \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}};
  • I_0 é o prefator cinético (unidade \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}), que incorpora densidade de sítios, fator de Zeldovich e frequência de anexação de átomos;
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K});
  • T é a temperatura de nucleação (aqui T=T_f-\Delta T).
  • Expressão da barreira crítica (núcleo esférico, nucleação homogênea):
\Delta G^*=\frac{16\pi\sigma_{sl}^3}{3(\Delta g_v)^2}.
Explicando as variáveis:
  • \sigma_{sl} é a energia de interface sólido–líquido ( \mathrm{J/m^2});
  • \Delta g_v é a variação da energia livre por unidade de volume entre líquido e sólido (valor positivo para o ganho termo-dinâmico por formar sólido; unidades \mathrm{J/m^3}). Quanto maior \Delta g_v (maior sub-resfriamento), menor a barreira \Delta G^*.
  • Aproximação prática para \Delta g_v (válida para sub-resfriamentos moderados, linearizando em \Delta T):
\Delta g_v \approx \frac{L\,\rho\,\Delta T}{T_f},
onde:
  • L é o calor latente por massa ( \mathrm{J/kg});
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3});
  • \Delta T é o sub-resfriamento ( \mathrm{K});
  • T_f é a temperatura de fusão ( \mathrm{K}).
Justificativa breve: L (J/kg) multiplicado por \rho (kg/m^3) dá energia por volume associada à transição; dividir por T_f dá a ordem de grandeza da variação de energia livre por volume linearizada em \Delta T/T_f.
  • Raio crítico do núcleo (útil para checar plausibilidade):
r^*=\frac{2\sigma_{sl}}{\Delta g_v}.

Passo 3

Colocando tudo numa forma conveniente e calculando um coeficiente numérico que aparece no expoente.
  • Substituindo \Delta g_v na expressão de \Delta G^* obtemos
\Delta G^*=\frac{16\pi\sigma_{sl}^3}{3}\cdot\frac{T_f^2}{L^2\rho^2\Delta T^2}.
  • O expoente que aparece na taxa é
\frac{\Delta G^*}{k_B T}=\frac{16\pi\sigma_{sl}^3}{3}\cdot\frac{T_f^2}{L^2\rho^2\Delta T^2}\cdot\frac{1}{k_B T}.
Para simplificar a escrita, definimos o coeficiente numérico (que depende só de \sigma_{sl},L,T_f,k_B):
B \equiv \frac{16\pi\sigma_{sl}^3\,T_f^2}{3\,L^2\,k_B}.
Então
\frac{\Delta G^*}{k_B T}=\frac{B}{\rho^2\,\Delta T^2\,T},
onde T=T_f-\Delta T é a temperatura em que ocorre a nucleação.
  • Vamos calcular B com os números dados:
    • \sigma_{sl}=1{,}21\times10^{-3}\\ \mathrm{J/m^2},
    • L=397\,500\\ \mathrm{J/kg},
    • T_f=933\\ \mathrm{K},
    • k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
      Calculando numericamente (passos abreviados):
B \approx 1{,}186\times10^{10}.
(Isto resulta da avaliação numérica de \dfrac{16\pi\sigma_{sl}^3 T_f^2}{3 L^2 k_B}.)
Portanto, com a densidade \rho em \mathrm{kg/m^3}, \Delta T em \mathrm{K} e T em \mathrm{K},
\frac{\Delta G^*}{k_B T} \approx \frac{1{,}186\times10^{10}}{\rho^2\,\Delta T^2\,T}.

Passo 4

Cálculo detalhado para \Delta T=20\\ \mathrm{K} (usando \rho=2700\\ \mathrm{kg/m^3} e I_0=1{,}0\times10^{40}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}).
  • Temperatura de nucleação:
T = T_f-\Delta T = 933-20 = 913\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo de \Delta g_v:
\Delta g_v = \frac{L\,\rho\,\Delta T}{T_f} = \frac{397\,500\cdot2700\cdot20}{933} \approx 2{,}30\times10^{7}\\ \mathrm{J/m^3}.
  • Raio crítico:
r^*=\frac{2\sigma_{sl}}{\Delta g_v} =\frac{2\cdot1{,}21\times10^{-3}}{2{,}30\times10^{7}} \approx 1{,}05\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Barreira crítica \Delta G^*:
\Delta G^*=\frac{16\pi\sigma_{sl}^3}{3(\Delta g_v)^2} \approx 5{,}60\times10^{-23}\\ \mathrm{J}.
  • Expoente \Delta G^*/(k_B T):
\frac{\Delta G^*}{k_B T}\approx 4{,}45\times10^{-3}.
  • Fator exponencial e intensidade:
I = I_0 \exp\!\left(-\frac{\Delta G^*}{k_B T}\right) \approx 1{,}0\times10^{40}\exp(-4{,}45\times10^{-3}) \approx 9{,}96\times10^{39}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}.
Comentário: com os valores assumidos, a barreira é muito pequena (expoente pequeno) levando a uma I praticamente igual ao prefator. Isso ocorre porque a \sigma_{sl} dada é extremamente baixa; pequenas \sigma_{sl} reduzem drasticamente \Delta G^*.

Passo 5

Cálculo detalhado para \Delta T=150\\ \mathrm{K} (mesmas suposições).
  • Temperatura de nucleação:
T = T_f-\Delta T = 933-150 = 783\\ \mathrm{K}.
  • \Delta g_v:
\Delta g_v = \frac{397\,500\cdot2700\cdot150}{933} \approx 1{,}73\times10^{8}\\ \mathrm{J/m^3}.
  • Raio crítico:
r^*=\frac{2\sigma_{sl}}{\Delta g_v} \approx 1{,}40\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Barreira crítica \Delta G^*:
\Delta G^*\approx 9{,}96\times10^{-25}\\ \mathrm{J}.
  • Expoente:
\frac{\Delta G^*}{k_B T}\approx 9{,}22\times10^{-5}.
  • Intensidade:
I \approx 1{,}0\times10^{40}\exp(-9{,}22\times10^{-5}) \approx 9{,}999\times10^{39}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}} \approx 1{,}00\times10^{40}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}.
Comentário: com sub-resfriamento maior a barreira fica ainda menor e I aproxima-se ainda mais do prefator.

Passo 6

Interpretação, sensibilidade e observações finais (didático e prático).
  • Observação sobre suposições: assumi \rho=2700\\ \mathrm{kg/m^3} (alumínio) e I_0=1{,}0\times10^{40}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}. Se o material não for alumínio ou se o valor real de \sigma_{sl} for diferente, os resultados mudam muito.
  • Sensibilidade a \sigma_{sl}: a barreira \Delta G^* escala como \sigma_{sl}^3. Se, por exemplo, \sigma_{sl} fosse 10^{-1}\\ \mathrm{J/m^2} (valor típico para muitas superfícies), \Delta G^* aumentaria por um fator enorme (da ordem de (10^{-1}/1{,}21\times10^{-3})^3\sim10^{6} a 10^{7}), tornando \exp(-\Delta G^*/k_B T) praticamente zero e I extremamente pequeno — isto é, a nucleação homogênea seria raríssima. Portanto o valor super-pequeno de \sigma_{sl} fornecido no enunciado leva a nucleação muito fácil (alta intensidade).
  • Conclusão prática: com as suposições feitas (alumínio, \rho=2700\\ \mathrm{kg/m^3}, I_0=1\times10^{40}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}) obtemos valores de I praticamente iguais ao prefator, porque a barreira calculada é muito pequena dado \sigma_{sl}=1{,}21\times10^{-3}\\ \mathrm{J/m^2}. Se precisar de valores com outros \rho ou outro I_0, as contas acima mostram exatamente onde substituir esses números.

Resposta

I(\Delta T=20\\ \mathrm{K}) \approx 9{,}96\times10^{39}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}
I(\Delta T=150\\ \mathrm{K}) \approx 1{,}00\times10^{40}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}

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