Um massalote cilíndrico deve ser projetado para um molde de fundição. A peça a ser fundida é uma placa retangular em aço com 7,5 \mathrm{~cm} de largura, 12,5 \mathrm{~cm} de comprimento e 20 mm de espessura. O tempo total de solidificação para essa peça é 1,6 minutos. Determine as dimensões do massalote cilíndrico (diâmetro e altura) em centímetros assumindo que o mesmo deverá ter uma razão diâmetro/altura igual a 1,0 e o tempo de solidificação do massalote seja igual a 2 minutos. Considere n=2.

Passo 1

O enunciado dá uma placa retangular de aço com largura 7{,}5,cm, comprimento 12{,}5,cm e espessura 20,mm ( 2,cm) que solidifica em 1{,}6 min. Queremos projetar um massalote cilíndrico com razão diâmetro/altura igual a 1, cujo tempo de solidificação seja 2 min. Vamos usar a regra de Chvorinov
t = C\Bigl(\frac{V}{A}\Bigr)^{n},
com n=2, onde V é o volume do corpo e A é a área de troca térmica.

Passo 2

Calculamos o volume V_p e a área de troca A_p da placa.
O volume é
V_p = 7{,}5 \times 12{,}5 \times 2 = 187{,}5\;\mathrm{cm^3}.
A área total de superfície (duas faces grandes e 4 faces laterais) é
A_p = 2\,(7{,}5 \times 12{,}5) + 2\,(7{,}5 \times 2) + 2\,(12{,}5 \times 2) = 2\cdot93{,}75 + 2\cdot15 + 2\cdot25 = 267{,}5\;\mathrm{cm^2}.
Logo,
\frac{V_p}{A_p} = \frac{187{,}5}{267{,}5} \approx 0{,}7009\;\mathrm{cm}.

Passo 3

Da regra de Chvorinov para placa e massalote temos
t_p = C\Bigl(\frac{V_p}{A_p}\Bigr)^2 = 1{,}6, \quad t_m = C\Bigl(\frac{V_m}{A_m}\Bigr)^2 = 2.
Dividindo as duas equações:
\frac{t_m}{t_p} = \frac{2}{1{,}6} = \Bigl(\frac{V_m/A_m}{V_p/A_p}\Bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_m/A_m}{V_p/A_p} = \sqrt{\frac{2}{1{,}6}} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118.
Assim
\frac{V_m}{A_m} = 1{,}118 \times 0{,}7009 \approx 0{,}7837\;\mathrm{cm}.

Passo 4

Para um cilindro de diâmetro D e altura H, com H=D, temos
V_m = \pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2 H = \frac{\pi D^3}{4}, \qquad A_m = \text{área lateral} + \text{topo e base} = \pi D H + 2\pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2 = \pi D^2 + \frac{\pi D^2}{2} = \frac{3\pi D^2}{2}.á
Logo
\frac{V_m}{A_m} = \frac{\tfrac{\pi D^3}{4}}{\tfrac{3\pi D^2}{2}} = \frac{D}{6}.

Passo 5

Igualando ao valor obtido no Passo 3:
\frac{D}{6} = 0{,}7837 \quad\Longrightarrow\quad D = 6 \times 0{,}7837 \approx 4{,}70\;\mathrm{cm}.
Como H=D, temos também H\approx4{,}70,cm.

Resposta

Diâmetro D \approx 4{,}70,cm
Altura H \approx 4{,}70,cm

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