Uma amostra de aço está sujeita a tensões elásticas conforme o tensor abaixo.
Considerando \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} e \nu=0,3 calcule as deformações correspondentes.
\sigma_{i j}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -3 & 1 \\\\ -3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 5 & -1\end{array}\right) M P a

Passo 1

O enunciado fornece o tensor de tensões
\sigma_{ij}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\\\ -3 & 4 & 5\\\\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}\text{ MPa}
e pede as deformações correspondentes num aço isotrópico com módulo de Young E=200 GPa e razão de Poisson \nu=0,3. Vamos usar a lei de Hooke tridimensional para material isotrópico, em que
– as deformações normais satisfazem
\varepsilon_{ii}=\frac{1}{E}\Bigl(\sigma_{ii}-\nu\sum_{k\neq i}\sigma_{kk}\Bigr),
– as deformações de cisalhamento (componentes fora da diagonal) satisfazem
\varepsilon_{ij}=\frac{\sigma_{ij}}{2G}\quad(i\neq j),
com G módulo de cisalhamento.

Passo 2

Convertendo E para MPa e calculando G:
E=200\text{ GPa}=200\,000\text{ MPa},\qquad G=\frac{E}{2(1+\nu)}=\frac{200\,000}{2(1+0,3)}=76\,923{,}1\text{ MPa}.
Também precisamos da soma das tensões principais (traço):
\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}=2+4+(-1)=5\text{ MPa}.

Passo 3

Cálculo das deformações normais:
\varepsilon_{xx} =\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{xx}-\nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})\bigr) =\frac{2-0,3(4-1)}{200\,000} =\frac{2-0,9}{200\,000} =5{,}5\times10^{-6},
\varepsilon_{yy} =\frac{4-0,3(2-1)}{200\,000} =\frac{4-0,3}{200\,000} =1{,}85\times10^{-5},
\varepsilon_{zz} =\frac{-1-0,3(2+4)}{200\,000} =\frac{-1-1,8}{200\,000} =-1{,}4\times10^{-5}.

Passo 4

Cálculo das deformações de cisalhamento:
\varepsilon_{xy} =\frac{\sigma_{xy}}{2\,G} =\frac{-3}{2\cdot76\,923{,}1} =-1{,}95\times10^{-5},
\varepsilon_{xz} =\frac{1}{2\cdot76\,923{,}1} =6{,}5\times10^{-6},
\varepsilon_{yz} =\frac{5}{2\cdot76\,923{,}1} =3{,}25\times10^{-5}.

Resposta

As deformações formam o tensor
\varepsilon_{ij} =\begin{pmatrix} 5{,}5\times10^{-6} & -1{,}95\times10^{-5} & 6{,}5\times10^{-6}\\[6pt] -1{,}95\times10^{-5} & 1{,}85\times10^{-5} & 3{,}25\times10^{-5}\\[6pt] 6{,}5\times10^{-6} & 3{,}25\times10^{-5} & -1{,}4\times10^{-5} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados