As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes: 50 g, x=2 cm, y=2 cm ; 25 g, x=0, y=4 cm ; 25 g, x=-3 cm, y=-3 cm ; 30 g, x=-2 cm, y=4 cm. Qual é o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo xey?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de momento de inércia juntos! A questão nos dá as massas e as coordenadas de quatro partículas e pede para calcular o momento de inércia do conjunto em relação aos eixos x e y. Para isso, precisamos entender o que é momento de inércia e como calcular isso para cada eixo usando as informações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência um objeto tem para mudar seu movimento de rotação em torno de um eixo específico. Para um conjunto de partículas, o momento de inércia em relação a um eixo é calculado somando as contribuições de cada partícula.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo x, que é denotado por Ix. A fórmula para Ix é:
Ix = sum mi yi^2
Isso significa que para cada partícula, multiplicamos sua massa ( mi) pelo quadrado da sua coordenada y, e depois somamos todos esses valores.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo para Ix:
  • Para a primeira partícula: 50,g times (2,cm)^2 = 50 times 4 = 200,g cdot cm^2
  • Para a segunda partícula: 25,g times (4,cm)^2 = 25 times 16 = 400,g cdot cm^2
  • Para a terceira partícula: 25,g times (-3,cm)^2 = 25 times 9 = 225,g cdot cm^2
  • Para a quarta partícula: 30,g times (4,cm)^2 = 30 times 16 = 480,g cdot cm^2

Passo 5

Somando todos esses valores, temos:
Ix = 200 + 400 + 225 + 480 = 1305,g cdot cm^2

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo y, denotado por Iy. A fórmula para Iy é:
Iy = sum mi xi^2
Isso significa que para cada partícula, multiplicamos sua massa ( mi) pelo quadrado da sua coordenada x, e depois somamos todos esses valores.

Passo 7

Vamos calcular cada termo para Iy:
  • Para a primeira partícula: 50,g times (2,cm)^2 = 50 times 4 = 200,g cdot cm^2
  • Para a segunda partícula: 25,g times (0,cm)^2 = 25 times 0 = 0,g cdot cm^2
  • Para a terceira partícula: 25,g times (-3,cm)^2 = 25 times 9 = 225,g cdot cm^2
  • Para a quarta partícula: 30,g times (-2,cm)^2 = 30 times 4 = 120,g cdot cm^2

Passo 8

Somando todos esses valores, temos:
Iy = 200 + 0 + 225 + 120 = 545,g cdot cm^2

Resposta

O momento de inércia do conjunto em relação ao eixo x é 1305,g cdot cm^2 e em relação ao eixo y é 545,g cdot cm^2.

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