As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes:
,
. Qual é o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo xey?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de momento de inércia juntos! A questão nos dá as massas e as coordenadas de quatro partículas e pede para calcular o momento de inércia do conjunto em relação aos eixos
e
. Para isso, precisamos entender o que é momento de inércia e como calcular isso para cada eixo usando as informações fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência um objeto tem para mudar seu movimento de rotação em torno de um eixo específico. Para um conjunto de partículas, o momento de inércia em relação a um eixo é calculado somando as contribuições de cada partícula.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
, que é denotado por
. A fórmula para
é:
Isso significa que para cada partícula, multiplicamos sua massa (
) pelo quadrado da sua coordenada
, e depois somamos todos esses valores.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo para
:
- Para a primeira partícula:
- Para a segunda partícula:
- Para a terceira partícula:
- Para a quarta partícula:
Passo 5
Somando todos esses valores, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
, denotado por
. A fórmula para
é:
Isso significa que para cada partícula, multiplicamos sua massa (
) pelo quadrado da sua coordenada
, e depois somamos todos esses valores.
Passo 7
Vamos calcular cada termo para
:
- Para a primeira partícula:
- Para a segunda partícula:
- Para a terceira partícula:
- Para a quarta partícula:
Passo 8
Somando todos esses valores, temos:
Resposta
O momento de inércia do conjunto em relação ao eixo
é
e em relação ao eixo
é
.