As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes: 50 g, x=2,0 cm, y=2,0 cm ; 25 g, x=0, y=4,0 cm ; 25 g, x=-3,0 cm, y=-3,0 cm ; 30 g, x=-2,0 cm, y=4,0 cm. Qual é o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo z?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem quatro partículas com certas massas e coordenadas no plano (x,y). A tarefa é encontrar o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo z (ou seja, perpendicular ao plano).
Conteúdo: momento de inércia de partículas pontuais, que usa a fórmula
I = sumi mi , ri^2
O que vamos precisar:
- Converter massa de gramas para quilogramas.
- Converter coordenadas de centímetros para metros.
- Calcular a distância ri de cada partícula à origem (0,0): ri = raizxi^2 + yi^2.
- Somar mi,ri^2 de todas as partículas.

Passo 2

Converter unidades de cada partícula:
  • Partícula 1: m1 = 50 g = 0,050 kg; (x1,y1)=(2,0 cm,2,0 cm)=(0,02,0,02) m.
  • Partícula 2: m2 = 25 g = 0,025 kg; (x2,y2)=(0,0 cm,4,0 cm)=(0,0,04) m.
  • Partícula 3: m3 = 25 g = 0,025 kg; (x3,y3)=(-3,0 cm,-3,0 cm)=(-0,03,-0,03) m.
  • Partícula 4: m4 = 30 g = 0,030 kg; (x4,y4)=(-2,0 cm,4,0 cm)=(-0,02,0,04) m.

Passo 3

Calcular ri^2 = xi^2 + yi^2 para cada partícula:
  1. r1^2 = (0,02)^2 + (0,02)^2 = 2times(0,0004)=0,0008 m^2
  2. r2^2 = (0)^2 + (0,04)^2 = 0,0016 m^2
  3. r3^2 = (0,03)^2 + (0,03)^2 = 2times(0,0009)=0,0018 m^2
  4. r4^2 = (0,02)^2 + (0,04)^2 = 0,0004 + 0,0016 = 0,0020 m^2

Passo 4

Agora aplicamos Ii = mi,ri^2 pra cada uma:
  1. I1 = 0,050 kgtimes 0,0008 m^2 = 0,00004 kg,m^2
  2. I2 = 0,025 kgtimes 0,0016 m^2 = 0,00004 kg,m^2
  3. I3 = 0,025 kgtimes 0,0018 m^2 = 0,000045 kg,m^2
  4. I4 = 0,030 kgtimes 0,0020 m^2 = 0,00006 kg,m^2

Passo 5

Somar todas as contribuições para ter o momento de inércia total:
I = I1 + I2 + I3 + I4 = 0,00004 + 0,00004 + 0,000045 + 0,00006 kg,m^2
I = 0,000185 kg,m^2

Resposta

O momento de inércia do conjunto em relação ao eixo z é
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