O mastro A B, de 4,57 \mathrm{~m}, tem uma extremidade fixa A. Um cabo de aço é esticado da ponta livre B até o ponto C de uma parede vertical. Se a tração no cabo é de 2535 N , determine o momento em relação a A da força aplicada pelo cabo em B.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados:
O mastro AB tem comprimento \;4{,}57\\ \mathrm{m}.\n
A tração no cabo é \;2535\\ \mathrm{N}, aplicada em B na direção de C (o cabo vai de B a C).\n
As posições relativas (pego da figura) são:
A é o ponto fixo na parede e será nossa origem de referência.
B está no eixo do mastro a 4{,}57\\ \mathrm{m} da parede: \displaystyle \mathbf{r}_B=\langle 4{,}57,\;0,\;0\rangle\\ \mathrm{m}. (o mastro é ao longo do eixo x.)
O ponto C na parede tem coordenadas (pela figura) \displaystyle \mathbf{r}_C=\langle 0,\;1{,}83,\;3{,}05\rangle\\ \mathrm{m}, isto é, C está 1{,}83\\ \mathrm{m} acima do nível do mastro e afastado lateralmente 3{,}05\\ \mathrm{m} na direção z. (Usei exatamente esses valores da figura.)
Pedido:
Determinar o momento em relação a A da força aplicada pelo cabo em B. Em outras palavras, calcular \displaystyle \mathbf{M}_A=\mathbf{r}_{AB}\times\mathbf{F}, onde \mathbf{r}_{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A=\mathbf{r}_B.
Passo 2
Conceitos essenciais (rápida aula para usar na prova).
Momento de uma força em relação a um ponto: se a força \mathbf{F} atua em um ponto cuja posição em relação ao ponto de referência é \mathbf{r}, então o momento relativo a esse ponto é a “multiplicação vetorial”
\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Produto vetorial (cruz): se \mathbf{r}=\langle r_x,r_y,r_z\rangle e \mathbf{F}=\langle F_x,F_y,F_z\rangle, então
Força cujo sentido é conhecido por dois pontos: a força \mathbf{F} tem magnitude F e direção do vetor \mathbf{r}_{BC}=\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B. Primeiro encontra-se o vetor unitário
(Arredondei mantendo casas suficientes para a prova.)
Passo 8
Aplicar o produto vetorial para obter o momento em A. Como \mathbf{r}_{AB}=\mathbf{r}_B=\langle 4{,}57,0,0\rangle, o produto \mathbf{M}_A=\mathbf{r}_B\times\mathbf{F} fica, usando a fórmula do Passo 2,