O mastro A B, de 4,57 \mathrm{~m}, tem uma extremidade fixa A. Um cabo de aço é esticado da ponta livre B até o ponto C de uma parede vertical. Se a tração no cabo é de 2535 N , determine o momento em relação a A da força aplicada pelo cabo em B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • O mastro AB tem comprimento \;4{,}57\\ \mathrm{m}.\n
    • A tração no cabo é \;2535\\ \mathrm{N}, aplicada em B na direção de C (o cabo vai de B a C).\n
    • As posições relativas (pego da figura) são:
      • A é o ponto fixo na parede e será nossa origem de referência.
      • B está no eixo do mastro a 4{,}57\\ \mathrm{m} da parede: \displaystyle \mathbf{r}_B=\langle 4{,}57,\;0,\;0\rangle\\ \mathrm{m}. (o mastro é ao longo do eixo x.)
      • O ponto C na parede tem coordenadas (pela figura) \displaystyle \mathbf{r}_C=\langle 0,\;1{,}83,\;3{,}05\rangle\\ \mathrm{m}, isto é, C está 1{,}83\\ \mathrm{m} acima do nível do mastro e afastado lateralmente 3{,}05\\ \mathrm{m} na direção z. (Usei exatamente esses valores da figura.)
  • Pedido:
    • Determinar o momento em relação a A da força aplicada pelo cabo em B. Em outras palavras, calcular \displaystyle \mathbf{M}_A=\mathbf{r}_{AB}\times\mathbf{F}, onde \mathbf{r}_{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A=\mathbf{r}_B.

Passo 2

Conceitos essenciais (rápida aula para usar na prova).
  • Momento de uma força em relação a um ponto: se a força \mathbf{F} atua em um ponto cuja posição em relação ao ponto de referência é \mathbf{r}, então o momento relativo a esse ponto é a “multiplicação vetorial”
\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
  • Produto vetorial (cruz): se \mathbf{r}=\langle r_x,r_y,r_z\rangle e \mathbf{F}=\langle F_x,F_y,F_z\rangle, então
\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ r_x & r_y & r_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} =\langle r_yF_z-r_zF_y,\; r_zF_x-r_xF_z,\; r_xF_y-r_yF_x\rangle.
  • Força cujo sentido é conhecido por dois pontos: a força \mathbf{F} tem magnitude F e direção do vetor \mathbf{r}_{BC}=\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B. Primeiro encontra-se o vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{r}_{BC}}{\lVert\mathbf{r}_{BC}\rVert},
depois \mathbf{F}=F\mathbf{u}.

Passo 3

Calcular o vetor posição de B e de C (peguei esses vetores da figura conforme citado no Passo 1):
\mathbf{r}_B=\langle 4{,}57,\;0,\;0\rangle\\ \mathrm{m},\qquad \mathbf{r}_C=\langle 0,\;1{,}83,\;3{,}05\rangle\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o vetor que vai de B até C:
\mathbf{r}_{BC}=\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B=\langle -4{,}57,\;1{,}83,\;3{,}05\rangle\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o comprimento de \mathbf{r}_{BC} (norma) para obter o vetor unitário:
\lVert\mathbf{r}_{BC}\rVert=\sqrt{(-4{,}57)^2+(1{,}83)^2+(3{,}05)^2}.
Agora as contas (passo a passo numérico):
(-4{,}57)^2=20{,}8849,\quad (1{,}83)^2=3{,}3489,\quad (3{,}05)^2=9{,}3025.
Somando:
\lVert\mathbf{r}_{BC}\rVert=\sqrt{20{,}8849+3{,}3489+9{,}3025}=\sqrt{33{,}5363}\approx 5{,}7925\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Encontrar o vetor unitário na direção de B para C:
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{r}_{BC}}{\lVert\mathbf{r}_{BC}\rVert} =\Big\langle \frac{-4{,}57}{5{,}7925},\;\frac{1{,}83}{5{,}7925},\;\frac{3{,}05}{5{,}7925}\Big\rangle \approx\langle -0{,}7893,\;0{,}3160,\;0{,}5266\rangle.

Passo 7

Determinar a força \mathbf{F} sabendo que sua intensidade é 2535\\ \mathrm{N} no sentido de B\to C:
\mathbf{F}=2535\,\mathbf{u}\approx 2535\langle -0{,}7893,\;0{,}3160,\;0{,}5266\rangle \approx\langle -2000{,}9,\;801{,}0,\;1334{,}99\rangle\\ \mathrm{N}.
(Arredondei mantendo casas suficientes para a prova.)

Passo 8

Aplicar o produto vetorial para obter o momento em A. Como \mathbf{r}_{AB}=\mathbf{r}_B=\langle 4{,}57,0,0\rangle, o produto \mathbf{M}_A=\mathbf{r}_B\times\mathbf{F} fica, usando a fórmula do Passo 2,
\mathbf{M}_A =\langle 0\cdot F_z-0\cdot F_y,\;0\cdot F_x-4{,}57\cdot F_z,\;4{,}57\cdot F_y-0\cdot F_x\rangle.
Substituindo F_y e F_z:
\mathbf{M}_A=\langle 0,\; -4{,}57\cdot(1334{,}99),\;4{,}57\cdot(801{,}02)\rangle\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 9

Calcular numericamente as componentes do momento:
M_{Ay}=-4{,}57\times1334{,}99\approx -6099{,}98\\ \mathrm{N\cdot m},
M_{Az}=4{,}57\times801{,}02\approx 3660{,}67\\ \mathrm{N\cdot m}.
Assim
\mathbf{M}_A\approx\langle 0,\;-6099{,}98,\;3660{,}67\rangle\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 10

(opcional na prova) Se quiser o módulo do momento:
\lVert\mathbf{M}_A\rVert=\sqrt{0^2+(-6099{,}98)^2+(3660{,}67)^2} \approx 7114{,}6\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{M}_A\approx\langle 0,\;-6099{,}98,\;3660{,}67\rangle\\ \mathrm{N\cdot m}
\displaystyle \lVert\mathbf{M}_A\rVert\approx 7114{,}6\\ \mathrm{N\cdot m}

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