Sabendo que a força de tração no cabo A D é de 810 N , determine: (a) o ângulo entre A D e o mastro A B e (b) a projeção sobre A B da força exercida pelo cabo A D no ponto A.
Passo 1
O que o problema pede:
(a) Determinar o ângulo entre o cabo A D e o mastro A B.
(b) Determinar a projeção sobre A B da força exercida pelo cabo A D no ponto A, sabendo que a tração no cabo vale 810\\ \text{N}.
Informações extraídas da figura (estou pegando esses dados da imagem):
A projeção horizontal do ponto A tem coordenada x=2,4\\ \text{m} em relação à base B.
A altura de A em relação ao solo (base) é 1,8\\ \text{m}.
A projeção horizontal do ponto D tem coordenada y=2,4\\ \text{m} (ou seja, D está 2,4\\ \text{m} na direção y a partir do eixo vertical mostrado).
O ponto D está 3,0\\ \text{m} acima de A (valor mostrado na figura).
Observação: usei exatamente os comprimentos que aparecem na figura para montar coordenadas tridimensionais dos pontos.
Passo 2
Escolha de um sistema de coordenadas e coordenas dos pontos (feito para facilitar cálculos):
Coloco a base B no ponto de referência (0,0,0).
A direção x aponta para a direita na figura, a direção y aponta para dentro do plano da figura (onde está D), e a direção z é vertical para cima.
Assim, pelas informações da figura:A = (2{,}4,\\\ 0,\\\ 1{,}8)\\ \text{m}
D = (0,\\\ 2{,}4,\\\ 1{,}8+3{,}0) = (0,\\\ 2{,}4,\\\ 4{,}8)\\ \text{m}
O mastro A B é vertical, então sua direção é paralela ao eixo z. Um vetor que descreve a direção de A B (tomando sentido para cima) é, em escala, (0,0,1).
Passo 3
Obter o vetor \overrightarrow{AD} (do ponto A para o ponto D):
Explicação rápida do porquê: vetor entre dois pontos é simplesmente coordenada final menos coordenada inicial.
Passo 4
Cálculo do módulo (comprimento) de \overrightarrow{AD}:
Fórmula do comprimento de um vetor \overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z) é \lVert \overrightarrow{v}\rVert=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aplicando a \overrightarrow{AD}:\lVert \overrightarrow{AD}\rVert=\sqrt{(-2{,}4)^2+(2{,}4)^2+(3{,}0)^2} =\sqrt{2{,}4^2+2{,}4^2+3{,}0^2} =\sqrt{5{,}76+5{,}76+9{,}00} =\sqrt{20{,}52} \approx 4{,}53\\ \text{m}.
Comentário: arredondei para duas casas úteis, mas mantive cálculo explícito.
Passo 5
Fórmula para o ângulo entre dois vetores e aplicação ao caso:
Para dois vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\lVert\overrightarrow{u}\rVert\lVert\overrightarrow{v}\rVert},onde \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} é o produto escalar (dot product).
No nosso caso queremos o ângulo entre \overrightarrow{AD} e o mastro A B. Como A B é vertical, podemos usar o vetor unitário vertical\widehat{e}_z=(0,0,1).Então\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{AD}\cdot\widehat{e}_z}{\lVert\overrightarrow{AD}\rVert\lVert\widehat{e}_z\rVert}.
O produto escalar \overrightarrow{AD}\cdot\widehat{e}_z é simplesmente a componente z de \overrightarrow{AD}, ou seja 3{,}0.
Como \lVert\widehat{e}_z\rVert=1, temos\cos\theta=\dfrac{3{,}0}{\lVert\overrightarrow{AD}\rVert} =\dfrac{3{,}0}{4{,}53}\approx 0{,}6627.
Portanto o ângulo\theta=\operatorname{arccos}(0{,}6627)\approx 48{,}6^\circ.
Explicação didática curta: o cosseno do ângulo entre o cabo e a vertical é a razão entre a componente vertical do cabo e o comprimento do cabo — faz sentido físico: quanto maior a componente vertical comparada ao comprimento maior é a aproximação do cabo à vertical.
Passo 6
Projeção da força ao longo de A B (componente da força na direção do mastro):
Se uma força \overrightarrow{F} tem módulo F e faz ângulo \theta com uma direção unitária \widehat{u}, a componente (projeção) de \overrightarrow{F} nessa direção éF_{\text{proj}} = F\cos\theta.Alternativamente, pode-se usar o produto escalar \overrightarrow{F}\cdot\widehat{u}.
Interpretação física: isso significa que, dos 810\\ \text{N} de tração no cabo, cerca de 536{,}8\\ \text{N} atuam na direção do mastro A B (isto é, puxam/compõem força na vertical do mastro).