A barra é apoiada pelo pino. Supondo que o esforço de tração admissível da barra seja
e a tensão de cisalhamento admissível do pino seja
, determinar o diâmetro do pino para o qual a carga
seja máxima. Qual é essa carga máxima? Suponha que o furo da barra tenha o mesmo diâmetro
do pino. Use
pol e
pol.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro do pino
que torna a carga
máxima e calcular essa carga máxima. Dados fornecidos:
Observações importantes (informações relevantes do enunciado): o furo da barra tem diâmetro igual ao do pino (
) e a barra tem largura
e espessura
. O que temos que encontrar: o valor de
que maximiza
e o valor dessa
.
Passo 2
Quais são as possíveis formas de ruptura (modos de falha) que limitam
?
- Ruptura por tração da barra através da seção líquida (net section) ao redor do furo. Nesse modo a tensão de tração média na seção é
onde
porque o furo de diâmetro
reduz a largura resistente da barra de
para
. A condição admissível de tração é
.
- Corte (cisalhamento) do pino. A tensão de cisalhamento média no pino é
onde assumimos que o pino está em cisalhamento simples (uma linha de corte). Então
. A condição admissível é
.
Nota sobre a suposição de cisalhamento simples: o enunciado não informou uma figura com suporte duplo. A suposição padrão aqui (e suficiente para resolver) é que o pino está em uma única superfície de cisalhamento. Se estivesse em cisalhamento duplo, a área efetiva seria o dobro e o resultado mudaria por um fator conhecido; eu explico brevemente no final como isso afetaria a resposta.
Passo 3
Escrever as expressões para as duas cargas admissíveis em função de
.
- Capacidade por tração da barra:
Aqui:
é a tensão de tração admissível (em
),
é a espessura (em
),
é a largura total (em
), e
é o diâmetro do furo (em
). O produto tem unidades de força (kips) quando
está em
e
em
.
- Capacidade por cisalhamento do pino (cisalhamento simples):
Aqui
é a tensão de cisalhamento admissível.
Passo 4
Raciocínio para encontrar
que maximiza
.
- Para um dado
, a carga admissível real é a menor entre e :
- A função
decresce linearmente quando aumenta (porque o furo reduz a área). - A função
cresce quadraticamente com . - Logo, a curva do mínimo das duas terá seu máximo quando as duas capacidades se igualarem (ponto de interseção). Se uma domina para todos os
não haveria ponto de cruza útil, mas aqui existe interseção. Portanto o ótimo satisfaz
Passo 5
Montar a equação de igualdade e substituir os valores numéricos.
Igualando:
Substituindo
,
,
,
:
Calcule o produto à esquerda e simplifique o fator da direita:
Passo 6
Resolver a equação quadrática para
.
Desenvolvendo:
Colocando na forma padrão
:
onde
.
Usando a fórmula quadrática:
Calcule o discriminante:
Raiz:
Escolhendo a raiz positiva física:
Passo 7
Calcular a carga máxima
. Podemos usar qualquer das expressões (elas são iguais no
ótimo). Uso a expressão de tração:
Calcule:
Em unidades de libra-força:
Passo 8
Comentário final sobre a suposição de cisalhamento simples: se o pino estivesse em cisalhamento duplo (duas superfícies de corte), a área de cisalhamento efetiva seria
. Nesse caso a equação de igualdade seria
o que daria um valor de
menor e uma
diferente (maior). Mas como o enunciado não especificou clevis duplo, mantivemos a hipótese de cisalhamento simples e declarei isso no Passo 2.