A barra é apoiada pelo pino. Supondo que o esforço de tração admissível da barra seja \left(\sigma_{t}\right)_{\text {adm }}=21 \mathrm{ksi} e a tensão de cisalhamento admissível do pino seja \tau_{\text {adm }}=12 \mathrm{ksi}, determinar o diâmetro do pino para o qual a carga P seja máxima. Qual é essa carga máxima? Suponha que o furo da barra tenha o mesmo diâmetro d do pino. Use t=\frac{1}{4} pol e w=2 pol.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro do pino d que torna a carga P máxima e calcular essa carga máxima. Dados fornecidos:
\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}=21\\ \mathrm{ksi},\qquad \tau_{\text{adm}}=12\\ \mathrm{ksi},
t=\tfrac{1}{4}\\ \mathrm{pol}=0,25\\ \mathrm{pol},\qquad w=2\\ \mathrm{pol}.
Observações importantes (informações relevantes do enunciado): o furo da barra tem diâmetro igual ao do pino ( d) e a barra tem largura w e espessura t. O que temos que encontrar: o valor de d que maximiza P e o valor dessa P_{\max}.

Passo 2

Quais são as possíveis formas de ruptura (modos de falha) que limitam P?
  • Ruptura por tração da barra através da seção líquida (net section) ao redor do furo. Nesse modo a tensão de tração média na seção é
\sigma=\frac{P}{A_{\text{líquida}}},í
onde A_{\text{líquida}}=t\,(w-d)í porque o furo de diâmetro d reduz a largura resistente da barra de w para w-d. A condição admissível de tração é \sigma\le(\sigma_t)_{\text{adm}}.
  • Corte (cisalhamento) do pino. A tensão de cisalhamento média no pino é
\tau=\frac{P}{A_{\text{cisalh}}},
onde assumimos que o pino está em cisalhamento simples (uma linha de corte). Então A_{\text{cisalh}}=\dfrac{\pi d^2}{4}. A condição admissível é \tau\le\tau_{\text{adm}}.
Nota sobre a suposição de cisalhamento simples: o enunciado não informou uma figura com suporte duplo. A suposição padrão aqui (e suficiente para resolver) é que o pino está em uma única superfície de cisalhamento. Se estivesse em cisalhamento duplo, a área efetiva seria o dobro e o resultado mudaria por um fator conhecido; eu explico brevemente no final como isso afetaria a resposta.

Passo 3

Escrever as expressões para as duas cargas admissíveis em função de d.
  1. Capacidade por tração da barra:
P_{\text{tração}}=(\sigma_t)_{\text{adm}}\;A_{\text{líquida}}=(\sigma_t)_{\text{adm}}\;t\,(w-d).çãí
Aqui: (\sigma_t)_{\text{adm}} é a tensão de tração admissível (em \mathrm{ksi}), t é a espessura (em \mathrm{pol}), w é a largura total (em \mathrm{pol}), e d é o diâmetro do furo (em \mathrm{pol}). O produto tem unidades de força (kips) quando (\sigma_t)_{\text{adm}} está em \mathrm{ksi} e A em \mathrm{pol}^2.
  1. Capacidade por cisalhamento do pino (cisalhamento simples):
P_{\text{cisalh}}=\tau_{\text{adm}}\;A_{\text{cisalh}}=\tau_{\text{adm}}\;\frac{\pi d^2}{4}.
Aqui \tau_{\text{adm}} é a tensão de cisalhamento admissível.

Passo 4

Raciocínio para encontrar d que maximiza P.
  • Para um dado d, a carga admissível real é a menor entre P_{\text{tração}}(d)çã e P_{\text{cisalh}}(d):
P_{\text{admissível}}(d)=\min\big(P_{\text{tração}}(d),\;P_{\text{cisalh}}(d)\big).íçã
  • A função P_{\text{tração}}(d)=(\sigma_t)_{\text{adm}}\,t\,(w-d)çã decresce linearmente quando d aumenta (porque o furo reduz a área).
  • A função P_{\text{cisalh}}(d)=\tau_{\text{adm}}\,\dfrac{\pi d^2}{4} cresce quadraticamente com d.
  • Logo, a curva do mínimo das duas terá seu máximo quando as duas capacidades se igualarem (ponto de interseção). Se uma domina para todos os d não haveria ponto de cruza útil, mas aqui existe interseção. Portanto o d ótimo satisfaz
P_{\text{tração}}(d)=P_{\text{cisalh}}(d).çã

Passo 5

Montar a equação de igualdade e substituir os valores numéricos.
Igualando:
(\sigma_t)_{\text{adm}}\,t\,(w-d)=\tau_{\text{adm}}\;\frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo (\sigma_t)_{\text{adm}}=21\\ \mathrm{ksi}, \tau_{\text{adm}}=12\\ \mathrm{ksi}, t=0,25\\ \mathrm{pol}, w=2\\ \mathrm{pol}:
21\cdot 0,25\,(2-d)=12\cdot\frac{\pi d^2}{4}.
Calcule o produto à esquerda e simplifique o fator da direita:
5,25\,(2-d)=3\pi d^2.

Passo 6

Resolver a equação quadrática para d.
Desenvolvendo:
5,25\cdot 2 - 5,25 d = 3\pi d^2
10,5 - 5,25 d - 3\pi d^2 = 0
Colocando na forma padrão a d^2 + b d + c =0:
3\pi d^2 + 5,25 d - 10,5 = 0,
onde a=3\pi,\\ b=5,25,\\ c=-10,5.
Usando a fórmula quadrática:
d=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Calcule o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=5,25^2-4\cdot(3\pi)\cdot(-10,5)=27,5625+395,840674\approx 423,403174.
Raiz:
\sqrt{\Delta}\approx 20,5797.
Escolhendo a raiz positiva física:
d=\frac{-5,25+20,5797}{2\cdot 3\pi}=\frac{15,3297}{18,8496}\approx 0,813\\ \mathrm{pol}.

Passo 7

Calcular a carga máxima P_{\max}. Podemos usar qualquer das expressões (elas são iguais no d ótimo). Uso a expressão de tração:
P_{\max}= (\sigma_t)_{\text{adm}}\,t\,(w-d)=21\cdot 0,25\cdot(2-0,813)\\ \mathrm{kips}.
Calcule:
P_{\max}\approx 5,25\cdot 1,187\approx 6,23\\ \mathrm{kips}.
Em unidades de libra-força:
P_{\max}\approx 6,23\\ \mathrm{kips}=6230\\ \mathrm{lb}\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Comentário final sobre a suposição de cisalhamento simples: se o pino estivesse em cisalhamento duplo (duas superfícies de corte), a área de cisalhamento efetiva seria 2\cdot\frac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi d^2}{2}. Nesse caso a equação de igualdade seria
(\sigma_t)_{\text{adm}}\,t\,(w-d)=\tau_{\text{adm}}\;\frac{\pi d^2}{2},
o que daria um valor de d menor e uma P_{\max} diferente (maior). Mas como o enunciado não especificou clevis duplo, mantivemos a hipótese de cisalhamento simples e declarei isso no Passo 2.

Resposta

d \approx 0,813\\ \mathrm{pol}
P_{\max} \approx 6,23\\ \mathrm{kips}

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