O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ào mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão.
Por medida de segurança, há apenas três opçőes de instalação:
  • opçãol: h = 11 me a = 30^circ
  • opção II: h=12 m e a=45^circ
  • opção III: h=18 m e a=60^circ
    A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possivel. Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um mastro de bandeira que está sendo sustentado por três cabos de aço. Cada cabo forma um ângulo diferente com o chão, e queremos descobrir qual das três opções tem o cabo mais curto. Para resolver isso, vamos usar trigonometria básica, especificamente a relação entre o ângulo, a altura do mastro e o comprimento do cabo.

Passo 2

Opção I: Verdade, temos sin(alpha) = hc metros e c = hsin(alpha) = 11sin(30^circ) .
Aqui, podemos usar a relação do seno, que é:
c = 110,5 = 22 metros
Onde:
  • é o ângulo com o chão,
  • é a altura do mastro,
  • é o comprimento do cabo.
Rearranjando para encontrar :
Sabemos que , então:

Passo 3

Opção II: Agora, c = 12sin(45^circ) metros e c = 120,7071 approx 16,97 metros .
Usando a mesma fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 4

Opção III: Por fim, c = 18sin(60^circ) metros e c = 180,8660 approx 20,78 metros .
Mais uma vez:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos comparar os comprimentos dos cabos:
  • Opção I: 22 metros
  • Opção II: ≈16,97 metros
  • Opção III: ≈20,78 metros
A menor medida é na Opção II, com cerca de 16,97 metros.

Resposta

Cada cabo deve ter aproximadamente 16,97 metros.

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