Matemática 2- Lista-Razões Trigonométricas
2-(Efomm 2022) O mestre de obras John e seu ajudante Johny precisam calcular a altura de um navio ancorado no porto. Para tal utilizaram a trigonometria no cálculo da altura de objetos inacessíveis. O mestre se posiciona em um ponto A de tal modo que observa o topo do navio por um ângulo de 30^circ. Em linha reta, seu ajudante está 20 metros mais próximo do navio e observa o topo do navio por um ângulo de 60^circ.
A altura do navio, em metros, é igual a
a) 10
b) 10 raiz2
c) 10 raiz3
d) 20
e) 20 raiz3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um navio cuja altura queremos descobrir usando trigonometria. Para isso, o mestre de obras John está em um ponto A e vê o topo do navio formando um ângulo de 30^circ com a horizontal. Já o ajudante Johny está 20 metros mais perto do navio e vê o topo formando um ângulo de 60^circ. Vamos precisar usar funções trigonométricas, especificamente a tangente, que relaciona ângulos com lados opostos e adjacentes em um triângulo retângulo.

Passo 2

Vamos desenhar um triângulo retângulo para cada observação. No triângulo de John, a altura do navio é o cateto oposto ao ângulo de 30^circ, e a distância de John ao navio é o cateto adjacente. No triângulo de Johny, a altura do navio continua sendo o cateto oposto, mas a distância de Johny ao navio é 20 metros menor que a de John.

Passo 3

Vamos chamar a distância de John ao navio de d. Então, a distância de Johny será d - 20 metros. Usando a tangente para cada triângulo:
Para John:
tan(30^circ) = hd
Para Johny:
tan(60^circ) = hd - 20

Passo 4

Sabemos que tan(30^circ) = raiz33 e tan(60^circ) = raiz3. Substituindo esses valores nas equações:
Para John:
raiz33 = hd Rightarrow h = raiz33 cdot d
Para Johny:
raiz3 = hd - 20 Rightarrow h = raiz3 cdot (d - 20)

Passo 5

Agora temos duas expressões para h. Podemos igualá-las:
raiz33 cdot d = raiz3 cdot (d - 20)
Dividindo ambos os lados por raiz3:
d3 = d - 20

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar d:
d3 = d - 20 Rightarrow d - d3 = 20 Rightarrow 2d3 = 20 Rightarrow d = 30

Passo 7

Com d = 30 metros, podemos encontrar a altura h usando uma das equações anteriores. Usando h = raiz33 cdot d:
h = raiz33 cdot 30 = 10raiz3

Resposta

c) 10 raiz3

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