A energia é armazenada em um capacitor porque o processo de carregar as placas é equivalente a transferir cargas de um condutor em menor potencial elétrico para outro em maior potencial elétrico.
A energia é armazenada no campo elétrico entre as placas e é dada por:
U=\frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C}=\frac{1}{2} q \Delta V=\frac{1}{2} C(\Delta V)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre e entenda por que a energia armazenada em um capacitor pode ser escrita de três maneiras equivalentes:
U=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}=\frac{1}{2}q\Delta V=\frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}.
Informações dadas / variáveis relevantes:
q é a carga final numa das placas (em coulombs),
\Delta V é a diferença de potencial entre as placas (em volts),
C é a capacitância do capacitor (em farads).
A tarefa é derivar mathematicamente essas fórmulas e explicar fisicamente de onde vem o fator 1/2 e o significado de cada forma.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: trabalho para mover carga num campo elétrico. Quando trazemos uma pequena carga dq de uma placa para a outra, feita contra a diferença de potencial instantânea V, o trabalho (energia fornecida) é
dW = V\,dq.
Aqui dW tem unidade de joule, V de volt e dq de coulomb. Essa expressão vem da definição de potencial elétrico: mover carga dq por uma diferença de potencial V exige energia dq\cdot V. Esse é o ponto de partida.

Passo 3

Relação entre carga e potencial num capacitor ideal: a capacitância é definida por
C=\frac{q}{\Delta V},
ou seja, para uma carga q sobre as placas, a diferença de potencial é
\Delta V=\frac{q}{C}.
Enquanto estivermos carregando o capacitor gradualmente, no instante em que a carga acumulada é q' a diferença de potencial naquele instante é V(q')=q'/C. É importante entender: V cresce com q, não é constante durante o processo de carga.

Passo 4

Escrevemos o trabalho diferencial necessário para trazer um pequeno dq quando a carga já acumulada é q':
dW = V(q')\,dq = \frac{q'}{C}\,dq'.
Para obter a energia total U armazenada (trabalho total gasto para ir de carga 0 até q), integramos q' de 0 a q:
U=\int_{0}^{q}\frac{q'}{C}\,dq'=\frac{1}{C}\int_{0}^{q}q'\,dq'.
Calcule a integral: \int_{0}^{q}q'\,dq'=\frac{q^{2}}{2}. Portanto
U=\frac{1}{C}\cdot\frac{q^{2}}{2}=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}.
Pronto — essa é a primeira das três expressões.

Passo 5

Agora transformamos \displaystyle U=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C} nas outras formas usando a relação C=\dfrac{q}{\Delta V}.
Primeiro, substituindo C=\dfrac{q}{\Delta V} em \dfrac{q^{2}}{C}:
\frac{q^{2}}{C}=q^{2}\cdot\frac{\Delta V}{q}=q\Delta V,
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U=\frac{1}{2}q\Delta V.
Segunda forma: usar \Delta V=\dfrac{q}{C} na expressão \dfrac{1}{2}q\Delta V:
U=\frac{1}{2}q\left(\frac{q}{C}\right)=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C},
ou, se em vez de q eliminar quisermos eliminar q na forma com C e \Delta V, usamos q=C\Delta V em \dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}:
U=\frac{1}{2}\frac{(C\Delta V)^{2}}{C}=\frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}.
Assim chegamos às três formas equivalentes:
U=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}=\frac{1}{2}q\Delta V=\frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}.

Passo 6

Intuição física do fator \tfrac{1}{2}: ao começar a carregar, quando a carga acumulada é pequena, a diferença de potencial é pequena; ao final ela é \Delta V. Como V cresce linearmente com q (porque V=q/C), a média do potencial durante o processo é \Delta V/2. O trabalho total é carga total vezes essa média:
U = q\cdot\frac{\Delta V}{2}=\frac{1}{2}q\Delta V.
Geometricamente isso é a área do triângulo sob a curva V versus q: base q, altura \Delta V, área \tfrac{1}{2}q\Delta V. Isso explica por que aparece o \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Ligação com energia do campo elétrico (útil para provas e para entender onde a energia “fica”): para um capacitor paralelo de área A e separação d no vácuo temos
C=\frac{\varepsilon_{0}A}{d},
e a diferença de potencial relaciona-se com o campo por \Delta V=E\,d. Substituindo em U=\dfrac{1}{2}C(\Delta V)^{2}:
U=\frac{1}{2}\left(\frac{\varepsilon_{0}A}{d}\right)(E d)^{2}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}Ad.
Como Ad é o volume entre as placas, a densidade de energia (energia por unidade de volume) é
u=\frac{U}{\text{volume}}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}.
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo e E o módulo do campo elétrico entre as placas. Essa expressão vale de forma geral (substituindo \varepsilon_{0} por \varepsilon num meio material).

Passo 8

Dicas práticas para prova:
  • Comece sempre pensando no diferencial dW=V(q)\,dq quando o problema fala em “energia para carregar”.
  • Verifique unidades: [C]=\text{F}= \text{C/V}, assim C(\Delta V)^{2} \text{C}\cdot\text{V}= \text{J}.
  • Se pedirem energia por volume, use u=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2} e relacione E e \Delta V por E=\Delta V/d.
  • Se o capacitor não for paralelo-plano, use C apropriado e a mesma integral U=\int_0^{q} \frac{q'}{C(q')}\,dq' (para casos onde C depende de q ou geometria).

Resposta

U=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}
U=\frac{1}{2}q\Delta V
U=\frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}

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