A energia é armazenada em um capacitor porque o processo de carregar as placas é equivalente a transferir cargas de um condutor em menor potencial elétrico para outro em maior potencial elétrico.
A energia é armazenada no campo elétrico entre as placas e é dada por:
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre e entenda por que a energia armazenada em um capacitor pode ser escrita de três maneiras equivalentes:
Informações dadas / variáveis relevantes:
A tarefa é derivar mathematicamente essas fórmulas e explicar fisicamente de onde vem o fator
e o significado de cada forma.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar: trabalho para mover carga num campo elétrico. Quando trazemos uma pequena carga
de uma placa para a outra, feita contra a diferença de potencial instantânea
, o trabalho (energia fornecida) é
Aqui
tem unidade de joule,
de volt e
de coulomb. Essa expressão vem da definição de potencial elétrico: mover carga
por uma diferença de potencial
exige energia
. Esse é o ponto de partida.
Passo 3
Relação entre carga e potencial num capacitor ideal: a capacitância é definida por
ou seja, para uma carga
sobre as placas, a diferença de potencial é
Enquanto estivermos carregando o capacitor gradualmente, no instante em que a carga acumulada é
a diferença de potencial naquele instante é
. É importante entender:
cresce com
, não é constante durante o processo de carga.
Passo 4
Escrevemos o trabalho diferencial necessário para trazer um pequeno
quando a carga já acumulada é
:
Para obter a energia total
armazenada (trabalho total gasto para ir de carga
até
), integramos
de
a
:
Calcule a integral:
. Portanto
Pronto — essa é a primeira das três expressões.
Passo 5
Agora transformamos
nas outras formas usando a relação
.
Primeiro, substituindo em
:
Primeiro, substituindo
logo
Segunda forma: usar
na expressão
:
ou, se em vez de
eliminar quisermos eliminar
na forma com
e
, usamos
em
:
Assim chegamos às três formas equivalentes:
Passo 6
Intuição física do fator
: ao começar a carregar, quando a carga acumulada é pequena, a diferença de potencial é pequena; ao final ela é
. Como
cresce linearmente com
(porque
), a média do potencial durante o processo é
. O trabalho total é carga total vezes essa média:
Geometricamente isso é a área do triângulo sob a curva
versus
: base
, altura
, área
. Isso explica por que aparece o
.
Passo 7
Ligação com energia do campo elétrico (útil para provas e para entender onde a energia “fica”): para um capacitor paralelo de área
e separação
no vácuo temos
e a diferença de potencial relaciona-se com o campo por
. Substituindo em
:
Como
é o volume entre as placas, a densidade de energia (energia por unidade de volume) é
Aqui
é a permissividade do vácuo e
o módulo do campo elétrico entre as placas. Essa expressão vale de forma geral (substituindo
por
num meio material).
Passo 8
Dicas práticas para prova:
- Comece sempre pensando no diferencial
quando o problema fala em “energia para carregar”. - Verifique unidades:
, assim dá . - Se pedirem energia por volume, use
e relacione e por . - Se o capacitor não for paralelo-plano, use
apropriado e a mesma integral (para casos onde depende de ou geometria).