Vinte gramas de uma amostra de café solúvel, com partículas esféricas (
e
) de
, foram submetidas à uma análise granulométrica, obteve-se os seguintes resultados abaixo:
Malha (mesh)
Abertura Livre (cm)
Massa retida (g)
35
0,0417
0
48
0,0295
0
65
0,0208
11,2
100
0,0147
6
200
0,0074
2
Fundo
------
0,8
a)Faça os gráficos da Análise Granulométrica Diferencial (AGD) e Análise Granulométrica Acumulada Retida (AGAR).
b) Calcule o número total de partículas da amostra
c) Calcule do diâmetro de Sauter das partículas da amostra .
| Malha (mesh) | Abertura Livre (cm) | Massa retida (g) |
| 35 | 0,0417 | 0 |
| 48 | 0,0295 | 0 |
| 65 | 0,0208 | 11,2 |
| 100 | 0,0147 | 6 |
| 200 | 0,0074 | 2 |
| Fundo | ------ | 0,8 |
b) Calcule o número total de partículas da amostra
c) Calcule do diâmetro de Sauter das partículas da amostra .
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de massa total
de café solúvel com partículas esféricas (constantes
e
) e densidade
. A análise granulométrica (tamizes) mostrou as massas retidas em cada posição conforme a tabela do enunciado. As perguntas são:
a) Fazer os gráficos da Análise Granulométrica Diferencial (AGD) e da Análise Granulométrica Acumulada Retida (AGAR).
b) Calcular o número total de partículas da amostra.
c) Calcular o diâmetro de Sauter (diâmetro médio de superfície/volume) das partículas da amostra.
a) Fazer os gráficos da Análise Granulométrica Diferencial (AGD) e da Análise Granulométrica Acumulada Retida (AGAR).
b) Calcular o número total de partículas da amostra.
c) Calcular o diâmetro de Sauter (diâmetro médio de superfície/volume) das partículas da amostra.
Dados relevantes extraídos do enunciado (copiando as aberturas e massas):
Observação importante para interpretar as massas retidas: a massa retida em uma malha corresponde a partículas com diâmetros entre a abertura da malha em questão (limite inferior do intervalo) e a abertura da malha imediatamente mais grossa acima (limite superior do intervalo). Por exemplo, as
retidas na malha
correspondem a partículas com diâmetros entre
(abertura da malha
, mais grossa) e
(abertura da malha
, mais fina).
Passo 2
Como construir a AGD (diferencial) e a AGAR (acumulada retida) — definição e escolha do diâmetro representativo de cada classe:
- AGD (Análise Granulométrica Diferencial): eixo
= diâmetro representativo de cada classe; eixo = porcentagem retida naquela classe (% da massa total). Para o diâmetro representativo de cada intervalo é usual usar a média geométrica entre os limites do intervalo, porque os intervalos são multiplicativos (razões), ou seja:
- AGAR (Análise Granulométrica Acumulada Retida): gráfico da porcentagem acumulada de massa retida (começando da classe mais grossa para a mais fina) em função do diâmetro. Para marcar os pontos da acumulada normalmente se usa o valor da abertura da malha que retém aquela fração (ou o limite superior do intervalo). Aqui eu vou colocar a acumulada associada à abertura da malha correspondente (método usual).
Cálculo das porcentagens retidas (convertendo massa em % da massa total
):
Calculando:
(Soma
. Ok.)
Passo 3
Cálculo dos diâmetros representativos (média geométrica) para cada classe não-nula:
Classe correspondente à malha
: limites
(malha
) e
(malha
).
Classe correspondente à malha
: limites
e
.
Classe correspondente à malha
: limites
e
.
Classe “fundo” (partículas que passaram a malha
,
): não temos limite inferior, então adotamos uma aproximação usual em ensaios práticos: usar metade da menor abertura como diâmetro representativo da fração fina. Assim
Esses
serão usados no AGD (e também nas contas de volume/número).
Passo 4
Tabela com os valores a usar para os gráficos (forneço os pares que deve plotar). Esses valores servem para desenhar os gráficos; como não posso desenhar aqui, segue exatamente o que você deve colocar no eixo
e
:
Para a AGD (gráfico diferencial:
diâmetro representativo,
retida na classe):
Instrução de plot: faça escala logarítmica em
(tamanho) se possível — é o mais comum — e no eixo
coloque os valores em % (de 0 a 60%).
Para a AGAR (acumulada retida): acumulamos percentuais das classes da mais grossa para a mais fina e marcamos em função da abertura da malha que retém a classe (usando a abertura da malha correspondente à fração retida):
Instrução de plot: eixo
idem (recomenda-se log), eixo
de
a
. Ligue os pontos para obter a curva acumulada.]
Passo 5
Cálculo do número total de partículas — fórmula e ideia:
- Para partículas esféricas, o volume de uma partícula de diâmetro
é
- A massa de uma partícula é
. - Se numa classe temos massa total
e adotamos um diâmetro representativo para as partículas dessa classe, o número de partículas naquela classe é
- Como
, podemos simplificar o fator constante:
Vou calcular
para cada classe com os
que já obtivemos.
Constante numérica:
Cálculos (arredondando as contas para 3 algarismos significativos nas grandezas finais de
):
Classe
:
,
.
Classe
:
,
.
Classe
:
,
.
Classe fundo:
,
(aprox. metade da menor abertura).
Total de partículas:
Comentário prático: repare que as partículas muito finas (fundo) dominam em número, por isso o total é fortemente influenciado pela escolha de
; a escolha de
da menor abertura é uma aproximação comum quando não há medidas mais finas.
Passo 6
Cálculo do diâmetro de Sauter (
) — definição, manipulação e cálculo usando massas:
- Definição clássica em termos de números:
. - Substituindo
(massa relacionada ao número e ao volume) simplifica-se a expressão para usar diretamente as massas:
Isto é muito prático: o numerador é a massa total (aqui
) e o denominador é a soma das razões
usando os diâmetros representativos.
Calculemos
usando os
já obtidos:
Somando:
Logo
Converter para unidades mais usuais:
Passo 7
Resumo prático do que você deve plotar e resultados numéricos principais (para checagem rápida):
- Use a tabela do Passo 4 para desenhar AGD e AGAR. Para AGD: pontos
. Para AGAR: pontos . Recomendo eixo em escala log (tamanho) e eixo linear em % (0–100%). - Número total de partículas e
calculados abaixo.
Resposta
a) AGD: pontos para plotar
:
,
,
,
.\nAGAR: pontos para plotar
:
,
,
,
.
b) Número total de partículas partículas (aprox.).
c) Diâmetro de Sauter .
b) Número total de partículas
c) Diâmetro de Sauter