Vinte gramas de uma amostra de café solúvel, com partículas esféricas ( a=\pi e b=\pi / 6 ) de \rho=1,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, foram submetidas à uma análise granulométrica, obteve-se os seguintes resultados abaixo:
Malha (mesh) Abertura Livre (cm) Massa retida (g)
35 0,0417 0
48 0,0295 0
65 0,0208 11,2
100 0,0147 6
200 0,0074 2
Fundo ------ 0,8
a)Faça os gráficos da Análise Granulométrica Diferencial (AGD) e Análise Granulométrica Acumulada Retida (AGAR).
b) Calcule o número total de partículas da amostra
c) Calcule do diâmetro de Sauter das partículas da amostra .

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de massa total 20\\ \mathrm{g} de café solúvel com partículas esféricas (constantes a=\pi e b=\pi/6) e densidade \rho=1{,}5\\ \mathrm{g/cm^{3}}. A análise granulométrica (tamizes) mostrou as massas retidas em cada posição conforme a tabela do enunciado. As perguntas são:
a) Fazer os gráficos da Análise Granulométrica Diferencial (AGD) e da Análise Granulométrica Acumulada Retida (AGAR).
b) Calcular o número total de partículas da amostra.
c) Calcular o diâmetro de Sauter (diâmetro médio de superfície/volume) das partículas da amostra.
Dados relevantes extraídos do enunciado (copiando as aberturas e massas):
\begin{array}{lll} \text{Malha} & \text{Abertura (cm)} & \text{Massa retida (g)}\\\\ 35 & 0{,}0417 & 0\\\\ 48 & 0{,}0295 & 0\\\\ 65 & 0{,}0208 & 11{,}2\\\\ 100 & 0{,}0147 & 6{,}0\\\\ 200 & 0{,}0074 & 2{,}0\\\ \text{Fundo} & - & 0{,}8 \end{array}
Observação importante para interpretar as massas retidas: a massa retida em uma malha corresponde a partículas com diâmetros entre a abertura da malha em questão (limite inferior do intervalo) e a abertura da malha imediatamente mais grossa acima (limite superior do intervalo). Por exemplo, as 11{,}2\\ \mathrm{g} retidas na malha 65 correspondem a partículas com diâmetros entre 0{,}0295\\ \mathrm{cm} (abertura da malha 48, mais grossa) e 0{,}0208\\ \mathrm{cm} (abertura da malha 65, mais fina).

Passo 2

Como construir a AGD (diferencial) e a AGAR (acumulada retida) — definição e escolha do diâmetro representativo de cada classe:
  • AGD (Análise Granulométrica Diferencial): eixo x = diâmetro representativo de cada classe; eixo y = porcentagem retida naquela classe (% da massa total). Para o diâmetro representativo de cada intervalo é usual usar a média geométrica entre os limites do intervalo, porque os intervalos são multiplicativos (razões), ou seja:
d_{\text{rep}}=\sqrt{d_{\text{superior}}\cdot d_{\text{inferior}}}.
  • AGAR (Análise Granulométrica Acumulada Retida): gráfico da porcentagem acumulada de massa retida (começando da classe mais grossa para a mais fina) em função do diâmetro. Para marcar os pontos da acumulada normalmente se usa o valor da abertura da malha que retém aquela fração (ou o limite superior do intervalo). Aqui eu vou colocar a acumulada associada à abertura da malha correspondente (método usual).
Cálculo das porcentagens retidas (convertendo massa em % da massa total 20\\ \mathrm{g}):
\%_{\text{retida}}=\frac{\text{massa retida}}{20}\times 100\%.
Calculando:
\begin{array}{ll} \text{malha }65:\quad & 11{,}2/20=0{,}56\Rightarrow 56{,}0\%\\\ \text{malha }100:\quad & 6{,}0/20=0{,}30\Rightarrow 30{,}0\%\\\ \text{malha }200:\quad & 2{,}0/20=0{,}10\Rightarrow 10{,}0\%\\\ \text{fundo}:\quad & 0{,}8/20=0{,}04\Rightarrow 4{,}0\% \end{array}
(Soma 56{,}0\%+30{,}0\%+10{,}0\%+4{,}0\%=100{,}0\%. Ok.)

Passo 3

Cálculo dos diâmetros representativos (média geométrica) para cada classe não-nula:
Classe correspondente à malha 65: limites d_{\text{sup}}=0{,}0295\\ \mathrm{cm} (malha 48) e d_{\text{inf}}=0{,}0208\\ \mathrm{cm} (malha 65).
d_{65}=\sqrt{0{,}0295\cdot 0{,}0208}=\sqrt{0{,}0006136}=0{,}024776\\ \mathrm{cm}.
Classe correspondente à malha 100: limites d_{\text{sup}}=0{,}0208\\ \mathrm{cm} e d_{\text{inf}}=0{,}0147\\ \mathrm{cm}.
d_{100}=\sqrt{0{,}0208\cdot 0{,}0147}=\sqrt{0{,}00030576}=0{,}017487\\ \mathrm{cm}.
Classe correspondente à malha 200: limites d_{\text{sup}}=0{,}0147\\ \mathrm{cm} e d_{\text{inf}}=0{,}0074\\ \mathrm{cm}.
d_{200}=\sqrt{0{,}0147\cdot 0{,}0074}=\sqrt{0{,}00010878}=0{,}010428\\ \mathrm{cm}.
Classe “fundo” (partículas que passaram a malha 200, d<0{,}0074\\ \mathrm{cm}): não temos limite inferior, então adotamos uma aproximação usual em ensaios práticos: usar metade da menor abertura como diâmetro representativo da fração fina. Assim
d_{\text{fundo}}\approx \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}0074=0{,}0037\\ \mathrm{cm}.
Esses d_{\text{rep}} serão usados no AGD (e também nas contas de volume/número).

Passo 4

Tabela com os valores a usar para os gráficos (forneço os pares que deve plotar). Esses valores servem para desenhar os gráficos; como não posso desenhar aqui, segue exatamente o que você deve colocar no eixo x e y:
Para a AGD (gráfico diferencial: x= diâmetro representativo, y=\% retida na classe):
\begin{array}{lll} \text{Classe} & d_{\text{rep}}\\ (\mathrm{cm}) & \%\\ \text{retida}\\[4pt] 65 & 0{,}024776 & 56{,}0\%\\\\ 100 & 0{,}017487 & 30{,}0\%\\\\ 200 & 0{,}010428 & 10{,}0\%\\\ \text{fundo} & 0{,}003700 & 4{,}0\% \end{array}
Instrução de plot: faça escala logarítmica em x (tamanho) se possível — é o mais comum — e no eixo y coloque os valores em % (de 0 a 60%).
Para a AGAR (acumulada retida): acumulamos percentuais das classes da mais grossa para a mais fina e marcamos em função da abertura da malha que retém a classe (usando a abertura da malha correspondente à fração retida):
\begin{array}{lll} \text{Ponto (usar abertura da malha)} & \text{Abertura (cm)} & \%\\ \text{acumulado retido}\\[4pt] \text{após malha }65 & 0{,}0208 & 56{,}0\%\\\ \text{após malha }100 & 0{,}0147 & 86{,}0\%\\\ \text{após malha }200 & 0{,}0074 & 96{,}0\%\\\ \text{fundo (final)} & \text{(usar um valor }0{,}0037\text{ ou marcar como \"fundo\")} & 100{,}0\% \end{array}óóó
Instrução de plot: eixo x idem (recomenda-se log), eixo y de 0\% a 100\%. Ligue os pontos para obter a curva acumulada.]

Passo 5

Cálculo do número total de partículas — fórmula e ideia:
  • Para partículas esféricas, o volume de uma partícula de diâmetro d é
V_{\text{part}}=b\,d^{3},\quad\text{com }b=\frac{\pi}{6}.
  • A massa de uma partícula é m_{\text{part}}=\rho\,V_{\text{part}}=\rho\,b\,d^{3}.
  • Se numa classe temos massa total m_{i} e adotamos um diâmetro representativo d_{i} para as partículas dessa classe, o número de partículas naquela classe é
N_{i}=\frac{m_{i}}{m_{\text{part}}}=\frac{m_{i}}{\rho\,b\,d_{i}^{3}}.
  • Como b=\pi/6, podemos simplificar o fator constante:
N_{i}=\frac{6\,m_{i}}{\rho\,\pi\,d_{i}^{3}}.
Vou calcular N_{i} para cada classe com os d_{i} que já obtivemos.
Constante numérica:
\frac{6}{\rho\pi}=\frac{6}{1{,}5\cdot\pi}=\frac{4}{\pi}\approx 1{,}273239545.
Cálculos (arredondando as contas para 3 algarismos significativos nas grandezas finais de N_i):
Classe 65: m=11{,}2\\ \mathrm{g}, d=0{,}024776\\ \mathrm{cm}.
d^{3}=0{,}024776^{3}\approx 1{,}5197\times10^{-5}\\ \mathrm{cm^{3}}.
N_{65}=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{11{,}2}{0{,}024776^{3}}\approx 1{,}27324\cdot\frac{11{,}2}{1{,}5197\times10^{-5}}\approx 9{,}38\times10^{5}.
Classe 100: m=6{,}0\\ \mathrm{g}, d=0{,}017487\\ \mathrm{cm}.
d^{3}\approx 5{,}3470\times10^{-6}\\ \mathrm{cm^{3}}.
N_{100}\approx 1{,}27324\cdot\frac{6{,}0}{5{,}3470\times10^{-6}}\approx 1{,}43\times10^{6}.
Classe 200: m=2{,}0\\ \mathrm{g}, d=0{,}010428\\ \mathrm{cm}.
d^{3}\approx 1{,}1342\times10^{-6}\\ \mathrm{cm^{3}}.
N_{200}\approx 1{,}27324\cdot\frac{2{,}0}{1{,}1342\times10^{-6}}\approx 2{,}25\times10^{6}.
Classe fundo: m=0{,}8\\ \mathrm{g}, d\approx0{,}003700\\ \mathrm{cm} (aprox. metade da menor abertura).
d^{3}\approx 5{,}0653\times10^{-8}\\ \mathrm{cm^{3}}.
N_{\text{fundo}}\approx 1{,}27324\cdot\frac{0{,}8}{5{,}0653\times10^{-8}}\approx 2{,}01\times10^{7}.
Total de partículas:
N_{\text{total}}=N_{65}+N_{100}+N_{200}+N_{\text{fundo}}\approx 9{,}38\times10^{5}+1{,}43\times10^{6}+2{,}25\times10^{6}+2{,}01\times10^{7}.
N_{\text{total}}\approx 2{,}47\times10^{7}\\ \text{partículas (aprox.).}í
Comentário prático: repare que as partículas muito finas (fundo) dominam em número, por isso o total é fortemente influenciado pela escolha de d_{\text{fundo}}; a escolha de d_{\text{fundo}}=\tfrac{1}{2} da menor abertura é uma aproximação comum quando não há medidas mais finas.

Passo 6

Cálculo do diâmetro de Sauter ( d_{32}) — definição, manipulação e cálculo usando massas:
  • Definição clássica em termos de números: \displaystyle d_{32}=\frac{\sum N_{i}d_{i}^{3}}{\sum N_{i}d_{i}^{2}}.
  • Substituindo N_{i}=\dfrac{m_{i}}{\rho b d_{i}^{3}} (massa relacionada ao número e ao volume) simplifica-se a expressão para usar diretamente as massas:
d_{32}=\frac{\sum m_{i}}{\sum \dfrac{m_{i}}{d_{i}}}.
Isto é muito prático: o numerador é a massa total (aqui 20\\ \mathrm{g}) e o denominador é a soma das razões m_{i}/d_{i} usando os diâmetros representativos.
Calculemos \sum \dfrac{m_{i}}{d_{i}} usando os d_{i} já obtidos:
\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{11{,}2}{0{,}024776}\approx 451{,}84\\[4pt] \displaystyle \frac{6{,}0}{0{,}017487}\approx 343{,}23\\[4pt] \displaystyle \frac{2{,}0}{0{,}010428}\approx 191{,}85\\[4pt] \displaystyle \frac{0{,}8}{0{,}003700}\approx 216{,}22 \end{array}
Somando:
\sum \frac{m_{i}}{d_{i}}\approx 451{,}84+343{,}23+191{,}85+216{,}22=1203{,}14.
Logo
d_{32}=\frac{\sum m_{i}}{\sum (m_{i}/d_{i})}=\frac{20}{1203{,}14}=0{,}016626\\ \mathrm{cm}.
Converter para unidades mais usuais:
d_{32}=0{,}016626\\ \mathrm{cm}=0{,}16626\\ \mathrm{mm}=166{,}3\\ \mu\mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).]

Passo 7

Resumo prático do que você deve plotar e resultados numéricos principais (para checagem rápida):
  • Use a tabela do Passo 4 para desenhar AGD e AGAR. Para AGD: pontos (d_{\text{rep}},\%\\ \text{retida}). Para AGAR: pontos (\text{abertura da malha},\%\\ \text{acumulado retido}). Recomendo eixo x em escala log (tamanho) e eixo y linear em % (0–100%).
  • Número total de partículas e d_{32} calculados abaixo.

Resposta

a) AGD: pontos para plotar (d_{\text{rep}}\\ \text{(cm)},\%\\ \text{retida}): (0{,}024776,\;56{,}0\%), (0{,}017487,\;30{,}0\%), (0{,}010428,\;10{,}0\%), (0{,}003700,\;4{,}0\%).\nAGAR: pontos para plotar (\text{abertura (cm)},\%\\ \text{acumulado retido}): (0{,}0208,\;56{,}0\%), (0{,}0147,\;86{,}0\%), (0{,}0074,\;96{,}0\%), (\text{fundo }\approx0{,}0037,\;100{,}0\%).
b) Número total de partículas N_{\text{total}}\approx 2{,}47\times 10^{7} partículas (aprox.).
c) Diâmetro de Sauter d_{32}\approx 0{,}016626\\ \mathrm{cm}=0{,}1663\\ \mathrm{mm}=166{,}3\\ \mu\mathrm{m}.

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