Um material isolante térmico (
) é usado para isolar um tanque metálico com parede fina contendo nitrogênio líquido mantido a
. Considerando-se que o tanque é cilíndrico com diâmetro interno de 60 cm e altura 1 m , calcular a quantidade de nitrogênio vaporizado por dia para uma espessura de isolamento de 1 in , com a temperatura de todas as superfícies externas do isolamento térmico mantidas a
. Para o nitrogênio
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a quantidade de nitrogênio que vaporiza por dia devido à perda de calor através do isolamento cilíndrico. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
O que se pede: quantidade de nitrogênio vaporizado por dia (vou apresentar a massa vaporizada por dia e o volume correspondente do líquido, usando a densidade dada).
Passo 2
Escolha do método e simplificações: vamos considerar regime estacionário de condução radial através do isolamento cilíndrico (isto é, o calor flui radialmente do interior frio para o exterior quente). A parede metálica é fina e pode ser desprezada frente ao isolamento (o enunciado já sugere isso). A fórmula adequada é a da condução em casca cilíndrica em regime estacionário. Vou usar essa fórmula porque ela é a forma direta de relacionar fluxo de calor à condutividade térmica e às dimensões cilíndricas do isolante.
Passo 3
Derivação rápida e explicação da fórmula (aula curta): a lei de Fourier para condução diz que o fluxo de calor radial por unidade área é proporcional ao gradiente de temperatura:
Numa casca cilíndrica de raio
e comprimento
a área lateral é
. O fluxo total através da casca é
. Substituindo e separando variáveis e integrando entre
(raio interno) e
(raio externo) e entre
e
obtemos a forma conhecida:
Aqui:
-
é a potência térmica (em ), -
é a condutividade térmica do isolamento ( ), -
é a altura do cilindro ( ), -
e são as temperaturas nos raios e (em ou K; a diferença é a mesma), -
é o raio interno e o raio externo do isolamento.
Passo 4
Converter e calcular as dimensões numéricas:
Temperatura diferença:
Altura:
Passo 5
Calcular o denominador da fórmula (o logaritmo):
Passo 6
Calcular a potência térmica
usando a fórmula da casca cilíndrica. Substituindo:
Vamos calcular passo a passo:
Agora dividir pelo logaritmo:
Ou seja, a perda de calor é cerca de
(muito baixa por causa do
muito pequeno).
Passo 7
Energia perdida por dia: um dia tem
. A energia por dia é
Mais precisamente:
Passo 8
Massa de nitrogênio vaporizada por dia: usar o calor latente
. A massa é
Interpretação: cerca de
de nitrogênio líquido vaporizam por dia por causa dessa perda de calor.
Passo 9
Volume do líquido correspondente (usando a densidade dada). Primeiro converter a densidade:
Volume:
Convertendo para litros (
):
Passo 10
Resumo e checagem rápida (um incentivo): a perda calculada é pequena — cerca de alguns watts — o que gera uma vaporização diária modestíssima, da ordem de
a
. Está coerente com um isolante de condutividade muito baixa. Se você estiver nervoso para a prova: memorize a fórmula da casca cilíndrica e os passos de conversão de unidades; isso resolve muita questão desse tipo.