Um material isolante térmico ( k=2 \times 10^{-4} \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) ) é usado para isolar um tanque metálico com parede fina contendo nitrogênio líquido mantido a -196^{\circ} \mathrm{C}. Considerando-se que o tanque é cilíndrico com diâmetro interno de 60 cm e altura 1 m , calcular a quantidade de nitrogênio vaporizado por dia para uma espessura de isolamento de 1 in , com a temperatura de todas as superfícies externas do isolamento térmico mantidas a 20^{\circ} \mathrm{C}. Para o nitrogênio \rho\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)=0,88 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e h_{l, v}=198 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a quantidade de nitrogênio que vaporiza por dia devido à perda de calor através do isolamento cilíndrico. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
k = 2\times10^{-4}\\ \mathrm{W/(m\\ K)}
\text{diâmetro interno} = 60\\ \mathrm{cm}â
\text{altura do cilindro} = 1\\ \mathrm{m}
\text{espessura do isolamento} = 1\\ \mathrm{in}
T_{\text{interno}} = -196^\circ\mathrm{C}
T_{\text{externo}} = 20^\circ\mathrm{C}
\rho(20^\circ\mathrm{C}) = 0,88\\ \mathrm{g/cm^3}
h_{l,v} = 198\\ \mathrm{kJ/kg}
O que se pede: quantidade de nitrogênio vaporizado por dia (vou apresentar a massa vaporizada por dia e o volume correspondente do líquido, usando a densidade dada).

Passo 2

Escolha do método e simplificações: vamos considerar regime estacionário de condução radial através do isolamento cilíndrico (isto é, o calor flui radialmente do interior frio para o exterior quente). A parede metálica é fina e pode ser desprezada frente ao isolamento (o enunciado já sugere isso). A fórmula adequada é a da condução em casca cilíndrica em regime estacionário. Vou usar essa fórmula porque ela é a forma direta de relacionar fluxo de calor à condutividade térmica e às dimensões cilíndricas do isolante.

Passo 3

Derivação rápida e explicação da fórmula (aula curta): a lei de Fourier para condução diz que o fluxo de calor radial por unidade área é proporcional ao gradiente de temperatura:
q_r = -k\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}.
Numa casca cilíndrica de raio r e comprimento L a área lateral é A(r)=2\pi r L. O fluxo total através da casca é \dot Q = q_r A(r). Substituindo e separando variáveis e integrando entre r_1 (raio interno) e r_2 (raio externo) e entre T_1 e T_2 obtemos a forma conhecida:
\dot Q = \frac{2\pi k L (T_2-T_1)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
Aqui:
  • \dot Q é a potência térmica (em \mathrm{W}),
  • k é a condutividade térmica do isolamento ( \mathrm{W/(m\\ K)}),
  • L é a altura do cilindro ( \mathrm{m}),
  • T_1 e T_2 são as temperaturas nos raios r_1 e r_2 (em ^\circ\mathrm{C} ou K; a diferença é a mesma),
  • r_1 é o raio interno e r_2 o raio externo do isolamento.

Passo 4

Converter e calcular as dimensões numéricas:
\text{raio interno } r_1 = \frac{60\\ \mathrm{cm}}{2}=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}.
\text{espessura } t = 1\\ \mathrm{in}=0,0254\\ \mathrm{m}.
r_2 = r_1 + t = 0,30 + 0,0254 = 0,3254\\ \mathrm{m}.
Temperatura diferença:
\Delta T = T_2-T_1 = 20 - (-196) = 216\\ \mathrm{K}.
Altura:
L = 1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o denominador da fórmula (o logaritmo):
\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0,3254}{0,30}\right)=\ln(1,0846667)\approx 0,0812.

Passo 6

Calcular a potência térmica \dot Q usando a fórmula da casca cilíndrica. Substituindo:
\dot Q = \frac{2\pi \, k \, L \, \Delta T}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)} = \frac{2\pi \times 2\times10^{-4}\times 1 \times 216}{0,0812}.
Vamos calcular passo a passo:
2\pi \times 2\times10^{-4} = 0,0004\pi \approx 0,0012566,
0,0004\pi \times 216 \approx 0,2715\\ (\mathrm{W}\cdot \text{sem unidade}).
Agora dividir pelo logaritmo:
\dot Q \approx \frac{0,2715}{0,0812}\approx 3,34\\ \mathrm{W}.
Ou seja, a perda de calor é cerca de \,3,34\\ \mathrm{W} (muito baixa por causa do k muito pequeno).

Passo 7

Energia perdida por dia: um dia tem 86400\\ \mathrm{s}. A energia por dia é
E_{\text{dia}} = \dot Q \times 86400 \approx 3,34 \times 86400 \approx 2,89\times10^{5}\\ \mathrm{J/dia}.
Mais precisamente:
E_{\text{dia}}\approx 288{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{J/dia}.

Passo 8

Massa de nitrogênio vaporizada por dia: usar o calor latente \,h_{l,v}=198\\ \mathrm{kJ/kg}=198000\\ \mathrm{J/kg}. A massa é
m = \frac{E_{\text{dia}}}{h_{l,v}} \approx \frac{288748{,}8}{198000}\approx 1,46\\ \mathrm{kg/dia}.
Interpretação: cerca de 1{,}46\\ \mathrm{kg} de nitrogênio líquido vaporizam por dia por causa dessa perda de calor.

Passo 9

Volume do líquido correspondente (usando a densidade dada). Primeiro converter a densidade:
\rho = 0,88\\ \mathrm{g/cm^3} = 880\\ \mathrm{kg/m^3}.
Volume:
V = \frac{m}{\rho} \approx \frac{1,46}{880} \approx 0,00166\\ \mathrm{m^3}.
Convertendo para litros ( 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}):
V \approx 1,66\\ \mathrm{L/dia}.

Passo 10

Resumo e checagem rápida (um incentivo): a perda calculada é pequena — cerca de alguns watts — o que gera uma vaporização diária modestíssima, da ordem de 1 a 2\\ \mathrm{kg}. Está coerente com um isolante de condutividade muito baixa. Se você estiver nervoso para a prova: memorize a fórmula da casca cilíndrica e os passos de conversão de unidades; isso resolve muita questão desse tipo.

Resposta

m \approx 1,46\\ \mathrm{kg/dia}
V \approx 1,66\\ \mathrm{L/dia}

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