Um aquecedor elétrico com superfície total de 0,25 \mathrm{~m}^{2} e emissividade 0,75 está em uma sala onde a temperatura do ar é de 20^{\circ} \mathrm{C} e as paredes estão a 10^{\circ} \mathrm{C}. Quando o aquecedor consome 500 W , sua superfície tem temperatura constante de 120^{\circ} \mathrm{C}. Determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
  • Superfície do aquecedor: A = 0{,}25\\ \mathrm{m}^2.
  • Emissividade da superfície: \varepsilon = 0{,}75.
  • Potência elétrica consumida (energia fornecida ao aquecedor): P = 500\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura da superfície do aquecedor: T_s = 120^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar da sala (para convecção): T_{\mathrm{ar}} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura das paredes (para radiação): T_{\mathrm{paredes}} = 10^\circ\mathrm{C}.
Pergunta: determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção h (em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}).

Passo 2

Modelo físico e equação de balanço de energia (explicação didática):
  • O aquecedor em regime estacionário perde potência para o ambiente por convecção para o ar e por radiação para as paredes. Como está em temperatura constante, a potência elétrica P que ele recebe é igual à soma das perdas:
P = Q_{\text{conv}} + Q_{\text{rad}}.
  • A perda por convecção (modelo convectivo linear) é dada por
Q_{\text{conv}} = h\,A\,(T_s - T_{\mathrm{ar}}),
onde h é o coeficiente convectivo que queremos, A é a área e as temperaturas estão em Kelvin (diferença em K).
  • A perda por radiação para as paredes, usando a lei de Stefan–Boltzmann para superfícies cinzentas num reservatório isótropo, é
Q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_{\mathrm{paredes}}^4),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Vou usar \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • Observação sobre por que usamos T_{\mathrm{paredes}} no termo radiativo: a radiação troca-se principalmente com as grandes superfícies da sala (paredes), cujo enunciado dá como 10^\circ\mathrm{C}. A convecção é com o ar a 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin (sempre use Kelvin nas potências de 4!):
T_s = 120^\circ\mathrm{C} = 120 + 273{,}15 = 393{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\mathrm{ar}} = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\mathrm{paredes}} = 10^\circ\mathrm{C} = 283{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o termo radiativo passo a passo.
Primeiro calculo T_s^2 e T_{\mathrm{paredes}}^2:
T_s^2 = (393{,}15)^2 = 154\,566{,}9225,
T_{\mathrm{paredes}}^2 = (283{,}15)^2 = 80\,173{,}9225.
Usei esses para obter T_s^4 - T_{\mathrm{paredes}}^4 via fatoração
T_s^4 - T_{\mathrm{paredes}}^4 = (T_s^2 - T_{\mathrm{paredes}}^2)(T_s^2 + T_{\mathrm{paredes}}^2).
Calcule as parciais:
T_s^2 - T_{\mathrm{paredes}}^2 = 154\,566{,}9225 - 80\,173{,}9225 = 74\,393{,}0,
T_s^2 + T_{\mathrm{paredes}}^2 = 154\,566{,}9225 + 80\,173{,}9225 = 234\,740{,}845.
Multiplicando:
T_s^4 - T_{\mathrm{paredes}}^4 = 74\,393{,}0 \times 234\,740{,}845 \approx 1{,}746307568\times 10^{10}\\ \mathrm{K^4}.
Agora o fluxo radiativo:
Q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_{\mathrm{paredes}}^4).
Substituindo valores ( \varepsilon = 0{,}75, \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}, A = 0{,}25):
Q_{\text{rad}} = 0{,}75 \times 5{,}67\times 10^{-8}\times 0{,}25 \times 1{,}746307568\times 10^{10}.
Calcule os fatores: 0{,}75\times 0{,}25 = 0{,}1875 e 0{,}1875\times 5{,}67\times 10^{-8} \approx 1{,}063125\times 10^{-8}.
Logo
Q_{\text{rad}} \approx 1{,}063125\times 10^{-8} \times 1{,}746307568\times 10^{10} \approx 185{,}7\\ \mathrm{W}.
(Arredondei o resultado final do termo radiativo para uma casa decimal razoável.)

Passo 5

Encontrar a parcela convectiva e então h.
Potência disponível para convecção:
Q_{\text{conv}} = P - Q_{\text{rad}} = 500 - 185{,}7 = 314{,}3\\ \mathrm{W}.
Agora use Q_{\text{conv}} = h\,A\,(T_s - T_{\mathrm{ar}}) para achar h.
A diferença de temperatura é
T_s - T_{\mathrm{ar}} = 393{,}15 - 293{,}15 = 100{,}0\\ \mathrm{K}.
Produto A (T_s - T_{\mathrm{ar}}) = 0{,}25 \times 100{,}0 = 25{,}0\\ \mathrm{m^2\,K}.
Logo
h = \frac{Q_{\text{conv}}}{A (T_s - T_{\mathrm{ar}})} = \frac{314{,}3}{25{,}0} \approx 12{,}57\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Arredondando de forma prática para duas casas significativas:
h \approx 12{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Resposta

h \approx 12{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

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