As paredes de um forno são mantidas na temperatura de 1200^{\circ} \mathrm{C}. Os gases em circulação ( h=120 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) ) dentro do forno encontram-se na temperatura de 1400^{\circ} \mathrm{C}. Dentro do forno circula uma longa tubulação metálica (diâmetro externo de 25 \mathrm{~mm}) com vapor de água na temperatura de 1100^{\circ} \mathrm{C}. Calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície do tubo.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície de um tubo metálico que circula vapor de água dentro de um forno. Dados fornecidos (vou listar explicitamente cada um, com as unidades convertidas quando preciso):
\begin{aligned} &\text{Temperatura das paredes do forno: }T_w=1200^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura dos gases no forno: }T_g=1400^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura do vapor dentro do tubo (assumida como temperatura da superfície): }T_s=1100^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Coeficiente convectivo entre gás e tubo: }h=120\\ \mathrm{W/(m^2\;K)},\\\ &\text{Diâmetro externo do tubo: }D=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}. \end{aligned}íáâ
Pede-se a taxa de calor por unidade de comprimento do tubo, ou seja \dot q' em \mathrm{W/m}.

Passo 2

Decisões e suposições necessárias (explico e justifico):
  • Vou assumir que a resistência térmica do tubo e a convecção interna fazem com que a temperatura da superfície externa do tubo seja muito próxima da temperatura do vapor, então adotamos \;T_s=1100^\circ\mathrm{C} como temperatura de superfície. Essa suposição é comum quando a parede é fino metal de alta condutividade ou quando não nos deram informações sobre a parede/coeficiente interno.
  • Vou considerar a troca radiativa entre a superfície do tubo e as paredes do forno. Como a emis­sividade não foi dada, adotarei \varepsilon=1 (superfície negra) — explico que isso é uma suposição conservadora que dá a ordem de grandeza correta; se \varepsilon for conhecida, basta multiplicar o termo radiativo por \varepsilon.
  • Ignoro efeitos radiativos do próprio gás (tratamento simples padrão para exercícios deste tipo) e considero que convecção vem do gás a T_g enquanto radiação vem das paredes a T_w.

Passo 3

Área lateral por unidade de comprimento do tubo (área por metro de comprimento):
A'=\pi D.
Substituindo D=0,025\\ \mathrm{m}:
A'=\pi\cdot0,025\approx0,07854\\ \mathrm{m^2/m}.
Aqui A' é a área externa do tubo por metro de comprimento (perímetro).

Passo 4

Convecção do gás para a superfície do tubo:
A lei da convecção diz que a potência por unidade de comprimento devido à convecção é
\dot q'_{\mathrm{conv}}=h\,A'\,(T_g-T_s),
onde h é o coeficiente convectivo, A' é a área por unidade de comprimento, T_g é a temperatura do gás e T_s é a temperatura da superfície. Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin (sempre que usamos radiciação devemos trabalhar em Kelvin; para convecção a diferença em Celsius e Kelvin é a mesma, mas vou converter por consistência):
T_g=1400^\circ\mathrm{C}=1400+273{,}15=1673{,}15\\ \mathrm{K},
T_s=1100^\circ\mathrm{C}=1100+273{,}15=1373{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora o cálculo:
\dot q'_{\mathrm{conv}}=120\cdot0,07854\cdot(1673{,}15-1373{,}15).
A diferença de temperatura é 300\\ \mathrm{K}. Então
\dot q'_{\mathrm{conv}}=120\cdot0,07854\cdot300.
Faço em passos:
120\cdot0,07854=9{,}4248\quad\Rightarrow\quad 9{,}4248\cdot300=2\,827{,}44\\ \mathrm{W/m}.
Portanto
\dot q'_{\mathrm{conv}}\approx2\,827{,}4\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Radiação das paredes do forno para a superfície do tubo:
Usamos a lei de Stefan–Boltzmann para fluxo radiativo entre uma grande superfície do forno e o tubo (assumindo vista completa das paredes), dada por
\dot q'_{\mathrm{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A'\,\bigl(T_w^4-T_s^4\bigr),
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\;K^4)} é a constante de Stefan–Boltzmann, \varepsilon é a emis­sividade (assumida 1) e T_w e T_s estão em Kelvin. Converto T_w:
T_w=1200^\circ\mathrm{C}=1200+273{,}15=1473{,}15\\ \mathrm{K}.
Para evitar elevar diretamente a quarta potência com muitos dígitos, uso a identidade
T_w^4-T_s^4=(T_w^2-T_s^2)(T_w^2+T_s^2).
Calculo T_w^2 e T_s^2:
T_w^2=(1473{,}15)^2\approx2\,170\,170{,}9\\ \mathrm{K^2},
T_s^2=(1373{,}15)^2\approx1\,885\,540{,}9\\ \mathrm{K^2}.
Logo
T_w^2-T_s^2\approx284\,630{,}0\\ \mathrm{K^2},
T_w^2+T_s^2\approx4\,055\,711{,}8\\ \mathrm{K^2}.
Multiplicando:
T_w^4-T_s^4\approx284\,630{,}0\cdot4\,055\,711{,}8\approx1{,}154377\times10^{12}\\ \mathrm{K^4}.
Agora aplico a constante:
\sigma\,(T_w^4-T_s^4)\approx5{,}67\times10^{-8}\cdot1{,}154377\times10^{12}\approx6{,}5453\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2}.
Multiplico pela área por unidade de comprimento A' e por \varepsilon=1:
\dot q'_{\mathrm{rad}}=1\cdot6{,}5453\times10^{4}\cdot0,07854\approx5\,140{,}7\\ \mathrm{W/m}.
Portanto
\dot q'_{\mathrm{rad}}\approx5\,140{,}7\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Taxa total de transferência de calor por unidade de comprimento é soma das contribuições convectiva e radiativa (regra da conservação de energia em regime estacionário):
\dot q'=\dot q'_{\mathrm{conv}}+\dot q'_{\mathrm{rad}}.
Substituindo os valores encontrados:
\dot q'\approx2\,827{,}4+5\,140{,}7=7\,968{,}1\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando para três algarismos significativos, obtemos aproximadamente 7,97\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}.
Observações finais rápidas (úteis para prova): se a emis­sividade real \varepsilon for conhecida, multiplique apenas o termo radiativo por \varepsilon. Se a superfície do tubo não estiver à temperatura do vapor, seria necessário incluir a resistência térmica da parede interna/externa e convecção interna para achar T_s por balanço de energia.

Resposta

\dot q'\approx7,97\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}

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