As paredes de um forno são mantidas na temperatura de
. Os gases em circulação (
) dentro do forno encontram-se na temperatura de
. Dentro do forno circula uma longa tubulação metálica (diâmetro externo de
com vapor de água na temperatura de
. Calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície do tubo.
Passo 1
O enunciado pede a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície de um tubo metálico que circula vapor de água dentro de um forno. Dados fornecidos (vou listar explicitamente cada um, com as unidades convertidas quando preciso):
Pede-se a taxa de calor por unidade de comprimento do tubo, ou seja
em
.
Passo 2
Decisões e suposições necessárias (explico e justifico):
- Vou assumir que a resistência térmica do tubo e a convecção interna fazem com que a temperatura da superfície externa do tubo seja muito próxima da temperatura do vapor, então adotamos
como temperatura de superfície. Essa suposição é comum quando a parede é fino metal de alta condutividade ou quando não nos deram informações sobre a parede/coeficiente interno. - Vou considerar a troca radiativa entre a superfície do tubo e as paredes do forno. Como a emissividade não foi dada, adotarei
(superfície negra) — explico que isso é uma suposição conservadora que dá a ordem de grandeza correta; se for conhecida, basta multiplicar o termo radiativo por . - Ignoro efeitos radiativos do próprio gás (tratamento simples padrão para exercícios deste tipo) e considero que convecção vem do gás a
enquanto radiação vem das paredes a .
Passo 3
Área lateral por unidade de comprimento do tubo (área por metro de comprimento):
Substituindo
:
Aqui
é a área externa do tubo por metro de comprimento (perímetro).
Passo 4
Convecção do gás para a superfície do tubo:
A lei da convecção diz que a potência por unidade de comprimento devido à convecção é
A lei da convecção diz que a potência por unidade de comprimento devido à convecção é
onde
é o coeficiente convectivo,
é a área por unidade de comprimento,
é a temperatura do gás e
é a temperatura da superfície. Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin (sempre que usamos radiciação devemos trabalhar em Kelvin; para convecção a diferença em Celsius e Kelvin é a mesma, mas vou converter por consistência):
Agora o cálculo:
A diferença de temperatura é
. Então
Faço em passos:
Portanto
Passo 5
Radiação das paredes do forno para a superfície do tubo:
Usamos a lei de Stefan–Boltzmann para fluxo radiativo entre uma grande superfície do forno e o tubo (assumindo vista completa das paredes), dada por
Usamos a lei de Stefan–Boltzmann para fluxo radiativo entre uma grande superfície do forno e o tubo (assumindo vista completa das paredes), dada por
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann,
é a emissividade (assumida 1) e
e
estão em Kelvin. Converto
:
Para evitar elevar diretamente a quarta potência com muitos dígitos, uso a identidade
Calculo
e
:
Logo
Multiplicando:
Agora aplico a constante:
Multiplico pela área por unidade de comprimento
e por
:
Portanto
Passo 6
Taxa total de transferência de calor por unidade de comprimento é soma das contribuições convectiva e radiativa (regra da conservação de energia em regime estacionário):
Substituindo os valores encontrados:
Arredondando para três algarismos significativos, obtemos aproximadamente
.
Observações finais rápidas (úteis para prova): se a emissividade real
for conhecida, multiplique apenas o termo radiativo por
. Se a superfície do tubo não estiver à temperatura do vapor, seria necessário incluir a resistência térmica da parede interna/externa e convecção interna para achar
por balanço de energia.