Um Material Padrão de Referência é certificado como contendo 94,6 \mathrm{ppm} de um contaminante orgânico do solo. Este material de referência foi analisado pelo laboratório de controle de qualidade e os seguintes valores foram obtidos: 98,6 \mathrm{ppm} ; 98,4 \mathrm{ppm} ; 97,2 ppm; 94,6 ppm e 96,2 ppm. Determine a concentração média e o desvio padrão do conjunto de resultados e informe o erro obtido tendo como referência o valor nominal do Material Padrão de Referência.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Determinar a concentração média do conjunto de resultados.
  • Determinar o desvio padrão do conjunto de resultados.
  • Informar o erro obtido tomando como referência o valor nominal do Material Padrão de Referência.
Dados fornecidos (valores medidos, todos em ppm):
  • 98,6, 98,4, 97,2, 94,6, 96,2.

Passo 2

Cálculo da concentração média.
Definição e explicação: a média aritmética \bar{x} de um conjunto de n medidas x_1,x_2,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n é o número total de medições e \bar{x} é o valor central (média) que resume essas medições.
Aplicando aos dados:
Soma dos valores:
98,6+98,4+97,2+94,6+96,2=485,0.
Número de medidas: n=5.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{485,0}{5}=97,0\\ \text{ppm}.

Passo 3

Cálculo do desvio padrão.
Explicação do conceito: o desvio padrão mede a dispersão das medidas em torno da média. Para um conjunto de replicatas experimentais usa-se normalmente o desvio padrão amostral s, que é uma estimativa não viciada da variabilidade. A fórmula do desvio padrão amostral é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde cada x_i-\bar{x} é o desvio de cada medida em relação à média; n-1 é o número de graus de liberdade (isso corrige o viés na estimativa da variância quando a média é estimada a partir dos dados).
Calculemos passo a passo os desvios e os quadrados:
  • x_1-\bar{x}=98,6-97,0=1,6 (1,6)^2=2,56.
  • x_2-\bar{x}=98,4-97,0=1,4 (1,4)^2=1,96.
  • x_3-\bar{x}=97,2-97,0=0,2 (0,2)^2=0,04.
  • x_4-\bar{x}=94,6-97,0=-2,4 (-2,4)^2=5,76.
  • x_5-\bar{x}=96,2-97,0=-0,8 (-0,8)^2=0,64.
Somando os quadrados:
2,56+1,96+0,04+5,76+0,64=10,96.
Variância amostral:
s^2=\frac{10,96}{n-1}=\frac{10,96}{4}=2,74\\ (\text{ppm}^2).
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{2,74}\approx1,66\\ \text{ppm}.
Observação didática rápida: arredondei o desvio padrão para duas casas decimais por consistência com as medidas originais (que têm uma casa decimal).

Passo 4

Cálculo do erro em relação ao valor nominal.
Definição e explicação: o erro absoluto é a diferença entre a média obtida e o valor nominal. Pode também ser útil o erro relativo (percentual), que dá a diferença proporcional ao valor nominal.
Valor nominal dado: 94,6\\ \text{ppm}.
Erro absoluto:
\text{erro absoluto}=\bar{x}-\text{nominal}=97,0-94,6=2,4\\ \text{ppm}.
Erro relativo percentual:
\text{erro relativo (\%)}=100\cdot\frac{\bar{x}-\text{nominal}}{\text{nominal}}=100\cdot\frac{2,4}{94,6}\approx2,54\%.
Interpretação curtinha: a média das medidas está 2,4\\ \text{ppm} acima do valor nominal, o que corresponde a aproximadamente 2,54\% a mais.

Resposta

Concentração média: 97,0\\ \mathrm{ppm}
Desvio padrão (amostral): 1,66\\ \mathrm{ppm}
Erro absoluto em relação ao nominal: +2,4\\ \mathrm{ppm}
Erro relativo: 2,54\\ \%

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