Se \frac{1}{x^{2}-10 x-29}+\frac{1}{x^{2}-10 x-45}-\frac{2}{x^{2}-10 x-69}=0 \quad então, a soma dos algarismos da solução positiva desta equação é igual a:
(a) 10
(b) 8
(c) 6
(d) 4
(e) 2

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\frac{1}{x^{2}-10x-29}+\frac{1}{x^{2}-10x-45}-\frac{2}{x^{2}-10x-69}=0.
O que a questão pede: encontrar a soma dos algarismos da solução positiva dessa equação.
Informações relevantes dadas (condições que vêm do enunciado):
  • Os três denominadores não podem ser zero, portanto deve valer
x^{2}-10x\neq 29,\qquad x^{2}-10x\neq 45,\qquad x^{2}-10x\neq 69.
  • Precisamos encontrar todas as soluções reais que satisfaçam a equação e, entre elas, identificar a solução positiva e somar seus algarismos.

Passo 2

Para simplificar a expressão, use a substituição usual quando aparece sempre o mesmo polinômio quadrático: seja
t = x^{2}-10x.
Explicando: isso reduz uma expressão racional em x para uma expressão racional em t, que normalmente é mais fácil de resolver. Lembre que, pela observação do passo anterior, t não pode ser 29, 45 nem 69.

Passo 3

Reescrevendo a equação em função de t obtemos
\frac{1}{t-29}+\frac{1}{t-45}-\frac{2}{t-69}=0.
Agora somamos as duas primeiras frações no membro esquerdo. Soma de frações com denominadores distintos: coloca-se o mesmo denominador comum e soma-se os numeradores. Assim,
\frac{1}{t-29}+\frac{1}{t-45}=\frac{(t-45)+(t-29)}{(t-29)(t-45)}=\frac{2t-74}{(t-29)(t-45)}.
Portanto a equação fica
\frac{2t-74}{(t-29)(t-45)}=\frac{2}{t-69}.

Passo 4

Resolvendo a equação em t: multiplicamos em cruz (desde que nenhum denominador seja zero, o que já consideramos). Assim
(2t-74)(t-69)=2(t-29)(t-45).
Podemos simplificar fatorando 2 no primeiro fator da esquerda: 2t-74=2(t-37). Substituindo,
2(t-37)(t-69)=2(t-29)(t-45).
Dividindo ambos os lados por 2 (permitido), obtemos
(t-37)(t-69)=(t-29)(t-45).
Agora expandimos ambos os lados (ou subtraímos um lado do outro). Expandindo:
t^{2}-106t+2553 = t^{2}-74t+1305.
Subtraindo t^{2} e rearranjando,
-106t+2553 = -74t+1305.
Passando termos com t para um lado e constantes para o outro:
-106t +74t = 1305 -2553
-32t = -1248
t = \frac{1248}{32}=39.

Passo 5

Verificação rápida das restrições: t=39 não é igual a 29, 45 nem 69, então é aceitável. Assim t=39 é a única solução para a variável substituta t.

Passo 6

Voltando para x: lembrando que t=x^{2}-10x, substituímos t=39 e resolvemos a equação quadrática
x^{2}-10x-39=0.
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-10, c=-39. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot(-39)=100+156=256.
Logo \sqrt{\Delta}=16 e as raízes são
x=\frac{10\pm16}{2}.
Assim as duas raízes são
x=\frac{10+16}{2}=13 \qquad\text{e}\qquad x=\frac{10-16}{2}=-3.
A solução positiva é x=13. (Verificação rápida: para x=13 tem-se x^{2}-10x=169-130=39, que é o t que usamos; os denominadores da equação original ficam 10, -6 e -30, nenhum é zero, então x=13 é solução válida.)

Passo 7

A soma dos algarismos da solução positiva 13 é
1+3=4.

Resposta

4

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