Se
então, a soma dos algarismos da solução positiva desta equação é igual a:
(a) 10
(b) 8
(c) 6
(d) 4
(e) 2
(a) 10
(b) 8
(c) 6
(d) 4
(e) 2
Passo 1
O enunciado fornece a equação
O que a questão pede: encontrar a soma dos algarismos da solução positiva dessa equação.
Informações relevantes dadas (condições que vêm do enunciado):
Informações relevantes dadas (condições que vêm do enunciado):
- Os três denominadores não podem ser zero, portanto deve valer
- Precisamos encontrar todas as soluções reais que satisfaçam a equação e, entre elas, identificar a solução positiva e somar seus algarismos.
Passo 2
Para simplificar a expressão, use a substituição usual quando aparece sempre o mesmo polinômio quadrático: seja
Explicando: isso reduz uma expressão racional em
para uma expressão racional em
, que normalmente é mais fácil de resolver. Lembre que, pela observação do passo anterior,
não pode ser
,
nem
.
Passo 3
Reescrevendo a equação em função de
obtemos
Agora somamos as duas primeiras frações no membro esquerdo. Soma de frações com denominadores distintos: coloca-se o mesmo denominador comum e soma-se os numeradores. Assim,
Portanto a equação fica
Passo 4
Resolvendo a equação em
: multiplicamos em cruz (desde que nenhum denominador seja zero, o que já consideramos). Assim
Podemos simplificar fatorando
no primeiro fator da esquerda:
. Substituindo,
Dividindo ambos os lados por
(permitido), obtemos
Agora expandimos ambos os lados (ou subtraímos um lado do outro). Expandindo:
Subtraindo
e rearranjando,
Passando termos com
para um lado e constantes para o outro:
Passo 5
Verificação rápida das restrições:
não é igual a
,
nem
, então é aceitável. Assim
é a única solução para a variável substituta
.
Passo 6
Voltando para
: lembrando que
, substituímos
e resolvemos a equação quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
,
Aqui
,
,
. O discriminante é
Logo
e as raízes são
Assim as duas raízes são
A solução positiva é
. (Verificação rápida: para
tem-se
, que é o
que usamos; os denominadores da equação original ficam
,
e
, nenhum é zero, então
é solução válida.)
Passo 7
A soma dos algarismos da solução positiva
é
Resposta
4