Se
e
são raízes reais da equação
,
, determine o valor de
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a equação
informa que
e
são raízes reais dessa equação com
, e pede o valor de
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação contém uma fração cujo denominador é
. - Deve-se observar que
tornaria o denominador zero, logo está excluído do domínio da igualdade (não pode ser solução). - Queremos achar as raízes reais da equação e calcular a diferença entre a maior e a menor.
Passo 2
Primeiro simplificar o denominador, reconhecendo um quadrado perfeito:
Substituindo na equação obtemos
Lembrete didático: reconhecer padrões como
facilita muito a simplificação; aqui
é
.
Passo 3
Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados por
, lembrando que já excluímos
:
Agora factoramos
no primeiro membro:
Calcular
:
Portanto a igualdade fica
Passo 4
Para facilitar a resolução, fazemos a substituição
. Assim
. Essa mudança é natural porque o denominador envolvia
. Reescrevendo em termos de
:
Substituindo na equação
obtemos
Mas observe que
simplifica:
. Então a equação fica
Passo 5
Expandimos e trazemos tudo para um lado:
Expandindo o produto:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora fatoramos esse polinômio de grau 4. Procuramos uma fatoração em dois quadráticos:
Comparando coeficientes, precisamos de
e
e
e
. Testando fatores inteiros para
e
, a escolha
e
é natural (pois
). Com
as condições reduzem a
As equações
e
têm solução
,
(ou vice-versa). Logo a fatoração é
Verificação rápida: multiplicando esses dois quadráticos obtém-se o polinômio inicial (confirmação feita acima via comparação de coeficientes).
Passo 7
As raízes reais em
vêm das equações quadráticas:
-
. O discriminante é , logo não fornece raízes reais. -
. O discriminante é
portanto há duas raízes reais:
Passo 8
Voltamos à variável
usando
. Assim as raízes reais
são
Portanto as duas raízes reais são
com
.
Passo 9
Calculamos a diferença:
Resposta
(c)