Se \alpha e \beta são raízes reais da equação x^{2}+\frac{9 x^{2}}{x^{2}+6 x+9}=27, \alpha>\beta, determine o valor de \alpha-\beta.
(a) \sqrt{5}
(b) 2 \sqrt{5}
(c) 3 \sqrt{5}
(d) 4 \sqrt{5}
(e) 5 \sqrt{5}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+\frac{9x^{2}}{x^{2}+6x+9}=27,
informa que \alpha e \beta são raízes reais dessa equação com \alpha>\beta, e pede o valor de \alpha-\beta.
Informações relevantes que temos:
  • A equação contém uma fração cujo denominador é x^{2}+6x+9.
  • Deve-se observar que x=-3 tornaria o denominador zero, logo x=-3 está excluído do domínio da igualdade (não pode ser solução).
  • Queremos achar as raízes reais da equação e calcular a diferença entre a maior e a menor.

Passo 2

Primeiro simplificar o denominador, reconhecendo um quadrado perfeito:
x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.
Substituindo na equação obtemos
x^{2}+\frac{9x^{2}}{(x+3)^{2}}=27.
Lembrete didático: reconhecer padrões como a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2} facilita muito a simplificação; aqui x^{2}+6x+9 é (x+3)^{2}.

Passo 3

Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados por (x+3)^{2}, lembrando que já excluímos x=-3:
x^{2}(x+3)^{2}+9x^{2}=27(x+3)^{2}.
Agora factoramos x^{2} no primeiro membro:
x^{2}\big[(x+3)^{2}+9\big]=27(x+3)^{2}.
Calcular (x+3)^{2}+9:
(x+3)^{2}+9=x^{2}+6x+9+9=x^{2}+6x+18.
Portanto a igualdade fica
x^{2}(x^{2}+6x+18)=27(x+3)^{2}.

Passo 4

Para facilitar a resolução, fazemos a substituição y=x+3. Assim x=y-3. Essa mudança é natural porque o denominador envolvia x+3. Reescrevendo em termos de y:
x^{2}=(y-3)^{2}=y^{2}-6y+9, \qquad (x+3)^{2}=y^{2}.
Substituindo na equação x^{2}(x^{2}+6x+18)=27(x+3)^{2} obtemos
(y^{2}-6y+9)\big((y-3)^{2}+6(y-3)+18\big)=27y^{2}.
Mas observe que (y-3)^{2}+6(y-3)+18 simplifica: (y-3)^{2}+6(y-3)+18 = y^{2}-6y+9 +6y-18+18 = y^{2}+9. Então a equação fica
(y^{2}-6y+9)(y^{2}+9)=27y^{2}.

Passo 5

Expandimos e trazemos tudo para um lado:
(y^{2}-6y+9)(y^{2}+9)-27y^{2}=0.
Expandindo o produto:
y^{4}-6y^{3}+9y^{2}+9y^{2}-54y+81-27y^{2}=0.
Agrupando termos semelhantes:
y^{4}-6y^{3}+(9+9-27)y^{2}-54y+81=0,
y^{4}-6y^{3}-9y^{2}-54y+81=0.

Passo 6

Agora fatoramos esse polinômio de grau 4. Procuramos uma fatoração em dois quadráticos:
y^{4}-6y^{3}-9y^{2}-54y+81=(y^{2}+ay+ b)(y^{2}+cy+d).
Comparando coeficientes, precisamos de bd=81 e a+c=-6 e ad+bc=-54 e ac+b+d=-9. Testando fatores inteiros para b e d, a escolha b=9 e d=9 é natural (pois 9\cdot9=81). Com b=d=9 as condições reduzem a
ac+18=-9\Rightarrow ac=-27, \qquad a+c=-6, \qquad 9(a+c)=-54\\ (\text{verifica }ad+bc).
As equações a+c=-6 e ac=-27 têm solução a=3, c=-9 (ou vice-versa). Logo a fatoração é
y^{4}-6y^{3}-9y^{2}-54y+81=(y^{2}+3y+9)(y^{2}-9y+9).
Verificação rápida: multiplicando esses dois quadráticos obtém-se o polinômio inicial (confirmação feita acima via comparação de coeficientes).

Passo 7

As raízes reais em y vêm das equações quadráticas:
  1. y^{2}+3y+9=0. O discriminante é \Delta_{1}=3^{2}-4\cdot1\cdot9=9-36=-27<0, logo não fornece raízes reais.
  2. y^{2}-9y+9=0. O discriminante é
\Delta_{2}=(-9)^{2}-4\cdot1\cdot9=81-36=45>0,
portanto há duas raízes reais:
y=\frac{9\pm\sqrt{45}}{2}=\frac{9\pm 3\sqrt{5}}{2}.

Passo 8

Voltamos à variável x usando x=y-3. Assim as raízes reais x são
x=\frac{9\pm 3\sqrt{5}}{2}-3=\frac{9\pm 3\sqrt{5}-6}{2}=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}=\frac{3}{2}\big(1\pm\sqrt{5}\big).
Portanto as duas raízes reais são
\alpha=\frac{3}{2}\big(1+\sqrt{5}\big),\qquad \beta=\frac{3}{2}\big(1-\sqrt{5}\big),
com \alpha>\beta.

Passo 9

Calculamos a diferença:
\alpha-\beta=\frac{3}{2}\big(1+\sqrt{5}\big)-\frac{3}{2}\big(1-\sqrt{5}\big) =\frac{3}{2}\big(2\sqrt{5}\big)=3\sqrt{5}.

Resposta

(c) 3\sqrt{5}

Exercícios relacionados