No
\mathbb{R}^{2}
, defina-se uma “adição” não usual de vetores
\overrightarrow{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \overrightarrow{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \overrightarrow{w}=\left(x_{3}, y_{3}\right)
por:
\overrightarrow{u} \bigoplus \overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}\right)
Verifique se são válidas as propriedades comutativa e associativa do espaço vetorial em tal sistema.

Passo 1

O enunciado dá no espaço \mathbb{R}^{2} três vetores
\overrightarrow{u}=\left(x_{1},y_{1}\right),
\overrightarrow{v}=\left(x_{2},y_{2}\right),
\overrightarrow{w}=\left(x_{3},y_{3}\right) e define a operação de “adição” não usual por
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}\right).
O problema pede para verificar se, com essa operação, as propriedades:
  • comutativa: \overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u} para todo \overrightarrow{u},\overrightarrow{v};
  • associativa: \big(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\big)\bigoplus\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\bigoplus\big(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\big) para todo \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w};
    são válidas no sistema apresentado.

Passo 2

Definição e estratégia para testar comutatividade (explicando o que é): comutatividade de uma operação binária significa que trocar a ordem dos operandos não muda o resultado. Vou calcular explicitamente \overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v} e \overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u} usando a definição dada e comparar os resultados componente a componente.
Cálculo direto para testar comutatividade:
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}\right), \qquad \overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u}=\left(x_{2}+x_{1},\,y_{2}\right).
Observações:
  • Na primeira componente, \,x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1}\, pela comutatividade da soma em \mathbb{R}, então as primeiras componentes coincidem.
  • Na segunda componente, temos \,y_{1} no primeiro resultado e \,y_{2} no segundo. Esses só são iguais quando \,y_{1}=y_{2}.
Conclusão parcial sobre comutatividade: em geral \overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\neq\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u} salvo no caso especial em que \,y_{1}=y_{2}. Logo a operação \bigoplus não é comutativa em \mathbb{R}^{2} para todos os pares de vetores.

Passo 3

Para tornar a ideia mais concreta, um exemplo numérico simples (ilustrativo):
tome \overrightarrow{u}=(1,2) e \overrightarrow{v}=(3,5). Então
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=(1+3,\,2)=(4,2), \qquad \overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{u}=(3+1,\,5)=(4,5).
Como (4,2)\neq(4,5), confirmamos que a operação não é comutativa nesse caso concreto.

Passo 4

Definição e estratégia para testar associatividade (explicando o que é): associatividade significa que a ordem de associação de três elementos não altera o resultado. Vou calcular \big(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\big)\bigoplus\overrightarrow{w} e \overrightarrow{u}\bigoplus\big(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\big) e verificar se são iguais para vetores gerais.
Cálculo da associatividade, primeiro \big(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\big)\bigoplus\overrightarrow{w}:
\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}=\left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}\right).
Agora somando com \overrightarrow{w}=(x_{3},y_{3}),
\big(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\big)\bigoplus\overrightarrow{w} = \big((x_{1}+x_{2})+x_{3},\,y_{1}\big).
Agora o outro lado \overrightarrow{u}\bigoplus\big(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\big):
\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}=\left(x_{2}+x_{3},\,y_{2}\right).
Aplicando \bigoplus com \overrightarrow{u},
\overrightarrow{u}\bigoplus\big(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\big) = \big(x_{1}+(x_{2}+x_{3}),\,y_{1}\big).
Comparação dos dois resultados:
\big(\overrightarrow{u}\bigoplus\overrightarrow{v}\big)\bigoplus\overrightarrow{w} = \big((x_{1}+x_{2})+x_{3},\,y_{1}\big), \qquad \overrightarrow{u}\bigoplus\big(\overrightarrow{v}\bigoplus\overrightarrow{w}\big) = \big(x_{1}+(x_{2}+x_{3}),\,y_{1}\big).
Como a soma em \mathbb{R} é associativa, (x_{1}+x_{2})+x_{3}=x_{1}+(x_{2}+x_{3}). As segundas componentes são ambas y_{1}. Portanto os dois vetores coincidem para quaisquer x_{i},y_{i}.
Conclusão parcial sobre associatividade: a operação \bigoplus é associativa em \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Interpretação final e implicação para estrutura de espaço vetorial: um dos axiomas de espaço vetorial exige que a adição seja comutativa e associativa. Aqui encontramos que \bigoplus falha em ser comutativa em geral, embora seja associativa. Portanto, com essa operação de adição não usual, a estrutura não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (falha ao menos na comutatividade da adição).

Resposta

Comutativa: Não (só vale quando y_{1}=y_{2}).
Associativa: Sim.

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