No
, defina-se uma “adição” não usual de vetores
\overrightarrow{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \overrightarrow{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \overrightarrow{w}=\left(x_{3}, y_{3}\right)
por:
Verifique se são válidas as propriedades comutativa e associativa do espaço vetorial em tal sistema.
\overrightarrow{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \overrightarrow{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \overrightarrow{w}=\left(x_{3}, y_{3}\right)
por:
Passo 1
O enunciado dá no espaço
três vetores
,
,
e define a operação de “adição” não usual por
O problema pede para verificar se, com essa operação, as propriedades:
- comutativa:
para todo ; - associativa:
para todo ;
são válidas no sistema apresentado.
Passo 2
Definição e estratégia para testar comutatividade (explicando o que é): comutatividade de uma operação binária significa que trocar a ordem dos operandos não muda o resultado. Vou calcular explicitamente
e
usando a definição dada e comparar os resultados componente a componente.
Cálculo direto para testar comutatividade:
Observações:
- Na primeira componente,
pela comutatividade da soma em , então as primeiras componentes coincidem. - Na segunda componente, temos
no primeiro resultado e no segundo. Esses só são iguais quando .
Conclusão parcial sobre comutatividade: em geral
salvo no caso especial em que
. Logo a operação
não é comutativa em
para todos os pares de vetores.
Passo 3
Para tornar a ideia mais concreta, um exemplo numérico simples (ilustrativo):
tome e
. Então
tome
Como
, confirmamos que a operação não é comutativa nesse caso concreto.
Passo 4
Definição e estratégia para testar associatividade (explicando o que é): associatividade significa que a ordem de associação de três elementos não altera o resultado. Vou calcular
e
e verificar se são iguais para vetores gerais.
Cálculo da associatividade, primeiro
:
Agora somando com
,
Agora o outro lado
:
Aplicando
com
,
Comparação dos dois resultados:
Como a soma em
é associativa,
. As segundas componentes são ambas
. Portanto os dois vetores coincidem para quaisquer
.
Conclusão parcial sobre associatividade: a operação
é associativa em
.
Passo 5
Interpretação final e implicação para estrutura de espaço vetorial: um dos axiomas de espaço vetorial exige que a adição seja comutativa e associativa. Aqui encontramos que
falha em ser comutativa em geral, embora seja associativa. Portanto, com essa operação de adição não usual, a estrutura não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (falha ao menos na comutatividade da adição).
Resposta
Comutativa: Não (só vale quando
).
Associativa: Sim.
Associativa: Sim.