Verifique se
é subespaço de
, tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
, onde
Informações dadas:
- A descrição analítica da reta:
. - A figura (imagem) mostra essa reta e marca pontos na interseção com os eixos (veja seção de imagens no final).
A pergunta explícita é: "
é subespaço de
?"
Passo 2
Definição que vou usar (explicada passo a passo):
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço de
se, e somente se, as três condições a seguir são satisfeitas:
Um subconjunto
-
contém o vetor nulo de , isto é, . -
é fechado sob soma: para quaisquer , vale . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e , vale .
Explicando cada item com calma:
- Item 1 (vetor nulo): o vetor
deve pertencer a . Se ele não está lá, já podemos concluir que não é subespaço, porque todo subespaço contém o vetor zero. - Item 2 (soma): pegar dois vetores quaisquer de
e somá-los; o resultado tem que obedecer a mesma condição que define . - Item 3 (escalares): multiplicar qualquer vetor de
por qualquer real ; o resultado também tem que obedecer a mesma condição.
Estratégia prática (rápida para prova): normalmente o teste mais simples é verificar o item 1 (presença do vetor zero). Se falhar, já termina. Se passar, verificar os itens 2 e 3. Vou primeiro testar o item 1.
Passo 3
Testando se o vetor nulo
pertence a
.
Para que
, as coordenadas devem satisfazer a equação que define
. Substituindo
e
em
obtemos:
Isso dá
, que é uma contradição. Logo
.
Adicionalmente (para ver concretamente pontos de
): ao colocar
na equação
obtemos
, isto é,
. (Observe que este ponto
também aparece marcado na imagem.)
Passo 4
Mostrando outra falha prática: fechamento por escalares também falha (é uma evidência alternativa e intuitiva).
Tomemos o vetor
(obtido colocando
na equação). Seja o escalar
. Então
Para que
seria necessário satisfazer
com
e
, isto é
o que novamente é falso. Portanto
. Assim a condição de fechamento por multiplicação escalar falha.
Passo 5
Resumo das verificações:
- O vetor nulo
não pertence a (Passo 3). - A multiplicação por escalar pode levar vetores de
para fora de (Passo 4).
Como pelo menos uma das condições necessárias para ser subespaço não é satisfeita, conclui-se que
não é subespaço de
.