Verifique se S é subespaço de V=\mathbb{R}^{2}, tal que S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / y=4-2 x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se S é subespaço de V=\mathbb{R}^{2}, onde
S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=4-2x\}.
Informações dadas:
  • A descrição analítica da reta: y=4-2x.
  • A figura (imagem) mostra essa reta e marca pontos na interseção com os eixos (veja seção de imagens no final).
A pergunta explícita é: " S é subespaço de V=\mathbb{R}^2?"

Passo 2

Definição que vou usar (explicada passo a passo):
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço de V se, e somente se, as três condições a seguir são satisfeitas:
  1. W contém o vetor nulo de V, isto é, \mathbf{0}=(0,0)\in W.
  2. W é fechado sob soma: para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, vale \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer c\in\mathbb{R} e \mathbf{v}\in W, vale c\mathbf{v}\in W.
Explicando cada item com calma:
  • Item 1 (vetor nulo): o vetor (0,0) deve pertencer a W. Se ele não está lá, já podemos concluir que W não é subespaço, porque todo subespaço contém o vetor zero.
  • Item 2 (soma): pegar dois vetores quaisquer de W e somá-los; o resultado tem que obedecer a mesma condição que define W.
  • Item 3 (escalares): multiplicar qualquer vetor de W por qualquer real c; o resultado também tem que obedecer a mesma condição.
Estratégia prática (rápida para prova): normalmente o teste mais simples é verificar o item 1 (presença do vetor zero). Se falhar, já termina. Se passar, verificar os itens 2 e 3. Vou primeiro testar o item 1.

Passo 3

Testando se o vetor nulo (0,0) pertence a S.
Para que (0,0)\in S, as coordenadas devem satisfazer a equação que define S. Substituindo x=0 e y=0 em y=4-2x obtemos:
0 \stackrel{?}{=} 4 - 2\cdot 0 = 4.
Isso dá 0=4, que é uma contradição. Logo (0,0)\notin S.
Adicionalmente (para ver concretamente pontos de S): ao colocar x=0 na equação y=4-2x obtemos y=4, isto é, (0,4)\in S. (Observe que este ponto (0,4) também aparece marcado na imagem.)

Passo 4

Mostrando outra falha prática: fechamento por escalares também falha (é uma evidência alternativa e intuitiva).
Tomemos o vetor \mathbf{v}=(0,4)\in S (obtido colocando x=0 na equação). Seja o escalar c=\tfrac{1}{4}. Então
c\mathbf{v}=\tfrac{1}{4}(0,4)=(0,1).
Para que (0,1)\in S seria necessário satisfazer y=4-2x com x=0 e y=1, isto é
1 \stackrel{?}{=} 4 - 2\cdot 0 = 4,
o que novamente é falso. Portanto c\mathbf{v}\notin S. Assim a condição de fechamento por multiplicação escalar falha.

Passo 5

Resumo das verificações:
  • O vetor nulo (0,0) não pertence a S (Passo 3).
  • A multiplicação por escalar pode levar vetores de S para fora de S (Passo 4).
Como pelo menos uma das condições necessárias para ser subespaço não é satisfeita, conclui-se que S não é subespaço de \mathbb{R}^2.

Resposta

S não é subespaço de \mathbb{R}^{2}.

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