Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é ou não um subespaço de
.
Informações dadas:
- O universo é
. - O subconjunto em questão é
. - A pergunta é apenas: “é subespaço?” (resposta booleana: sim ou não) — porém eu também vou mostrar como provar isso passo a passo e dar intuição para a prova, para você conseguir repetir na prova.
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço?
Um subconjunto
de
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz as três propriedades seguintes:
-
não é vazio (equivalentemente, , onde é o vetor nulo). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Por que essas três propriedades? Porque um subespaço deve herdar todas as propriedades de espaço vetorial: ter o vetor nulo, somas e múltiplos escalares bem definidos dentro do conjunto. Na prática, checar essas três é suficiente.
Passo 3
Verificar se o vetor nulo pertence a
.
O vetor nulo em
é
.
Calcule a soma das coordenadas:
Calcule a soma das coordenadas:
Como
, o vetor
satisfaz a condição
. Logo
. Portanto
não é vazio e passa na primeira propriedade.
Passo 4
Verificar fechamento por adição (a parte mais importante da prova).
Sejam
e
. Pela definição de
temos
Considere
. Soma das coordenadas do vetor resultante:
Como a soma das coordenadas é
, segue que
. Logo
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja
com
, e seja
. Então
A soma das coordenadas de
é
Portanto
. Logo
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão lógica e interpretação geométrica.
Como
contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Interpretação geométrica e forma paramétrica (útil para a prova): a condição
equivale a
. Logo um vetor genérico de
é
Isto mostra que
é a reta passando pela origem com direção
; em particular
tem dimensão
e
é uma base de
. Essa observação é prática para identificar subespaços do tipo “reta através da origem”.
Passo 7
Exemplo contraste rápido (dica de prova): o conjunto
NÃO é subespaço, porque não contém o vetor nulo (pois
). Isso mostra um teste rápido: se a reta não passa pela origem, já falha a condição mais simples.
Força aí — essa prova é curta e direta: mostrar
, fechamento por soma e por escalares é o caminho padrão que cai muito na prova.
Resposta
Sim. É um subespaço de
.