Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
\{(x, y) ; x+y=0\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto \{(x,y);\;x+y=0\} é ou não um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas:
  • O universo é \mathbb{R}^{2}.
  • O subconjunto em questão é S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x+y=0\}.
  • A pergunta é apenas: “é subespaço?” (resposta booleana: sim ou não) — porém eu também vou mostrar como provar isso passo a passo e dar intuição para a prova, para você conseguir repetir na prova.

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço?
Um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz as três propriedades seguintes:
  1. W não é vazio (equivalentemente, \mathbf{0}\in W, onde \mathbf{0} é o vetor nulo).
  2. W é fechado sob adição: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in W então c\mathbf{u}\in W.
Por que essas três propriedades? Porque um subespaço deve herdar todas as propriedades de espaço vetorial: ter o vetor nulo, somas e múltiplos escalares bem definidos dentro do conjunto. Na prática, checar essas três é suficiente.

Passo 3

Verificar se o vetor nulo pertence a S.
O vetor nulo em \mathbb{R}^{2} é \mathbf{0}=(0,0).
Calcule a soma das coordenadas:
0+0=0.
Como 0+0=0, o vetor (0,0) satisfaz a condição x+y=0. Logo \mathbf{0}\in S. Portanto S não é vazio e passa na primeira propriedade.

Passo 4

Verificar fechamento por adição (a parte mais importante da prova).
Sejam \mathbf{u}=(x_{1},y_{1})\in S e \mathbf{v}=(x_{2},y_{2})\in S. Pela definição de S temos
x_{1}+y_{1}=0 \qquad\text{e}\qquad x_{2}+y_{2}=0.
Considere \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}). Soma das coordenadas do vetor resultante:
(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})=0+0=0.
Como a soma das coordenadas é 0, segue que \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Logo S é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja \mathbf{u}=(x_{1},y_{1})\in S com x_{1}+y_{1}=0, e seja c\in\mathbb{R}. Então
c\mathbf{u}=(c x_{1},\,c y_{1}).
A soma das coordenadas de c\mathbf{u} é
c x_{1}+c y_{1}=c(x_{1}+y_{1})=c\cdot 0=0.
Portanto c\mathbf{u}\in S. Logo S é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão lógica e interpretação geométrica.
Como S contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Interpretação geométrica e forma paramétrica (útil para a prova): a condição x+y=0 equivale a y=-x. Logo um vetor genérico de S é
(x,-x)=x(1,-1).
Isto mostra que S é a reta passando pela origem com direção (1,-1); em particular S tem dimensão 1 e \{(1,-1)\} é uma base de S. Essa observação é prática para identificar subespaços do tipo “reta através da origem”.

Passo 7

Exemplo contraste rápido (dica de prova): o conjunto \{(x,y);\;x+y=1\} NÃO é subespaço, porque não contém o vetor nulo (pois 0+0\neq1). Isso mostra um teste rápido: se a reta não passa pela origem, já falha a condição mais simples.
Força aí — essa prova é curta e direta: mostrar \mathbf{0}\in S, fechamento por soma e por escalares é o caminho padrão que cai muito na prova.

Resposta

Sim. É um subespaço de \mathbb{R}^{2}.

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