Para quaisquer x, y, z \in \mathbb{R}. Prove que:
|x-y| \leq|x-z|+|y-z|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R}, vale
|x - y| \le |x - z| + |y - z|.
Este é um caso particular da desigualdade triangular para números reais, que diz que
|a + b| \le |a| + |b|
para quaisquer a,b\in\mathbb{R}.

Passo 2

Lembre-se da desigualdade triangular para reais: para quaisquer a,b\in\mathbb{R}
|a + b| \le |a| + |b|.

Passo 3

Escrevemos a diferença x - y como soma de dois termos envolvendo z:
x - y = (x - z) + (z - y).

Passo 4

Aplicando a desigualdade triangular com
a = x - z \quad\text{e}\quad b = z - y,
obtém-se
|x - y| = |(x - z) + (z - y)| \le |x - z| + |z - y| = |x - z| + |y - z|.

Resposta

|x - y| \le |x - z| + |y - z|.

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