Determine, segundo o valor do parâmetro a>0, a natureza da série \sum \frac{a^{n} n!}{n^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}}
em função do parâmetro a>0. O conteúdo principal aqui é o critério da razão para séries de termos positivos e, no caso-limite, a fórmula de Stirling para analisar o termo geral.

Passo 2

Definimos o termo geral
t_{n}=\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{t_{n+1}}{t_{n}} =\frac{a^{n+1}(n+1)!\,n^{n}}{a^{n}n!\,(n+1)^{n+1}} =a\,(n+1)\,\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} =a\;\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} =a\;\frac{1}{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}}.
Como \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}\to e quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{t_{n+1}}{t_{n}} =\frac{a}{e}.

Passo 3

Pelo critério da razão para séries de termos positivos:
  • Se \frac{a}{e}<1, i.e.\ a<e, então a série converge.
  • Se \frac{a}{e}>1, i.e.\ a>e, então a série diverge.

Passo 4

No caso-limite a=e, o limite da razão é 1 e o critério é inconclusivo. Usamos então a aproximação de Stirling:
n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n}.
Para a=e,
t_{n} =\frac{e^{n}\,n!}{n^{n}} \sim\frac{e^{n}}{n^{n}} \;\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n} =\sqrt{2\pi n}.
Como \sqrt{2\pi n}\to\infty, o termo geral não tende a zero, logo a série diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}}
converge se, e somente se, 0<a<e, e diverge para a\ge e.

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