Determine, segundo o valor do parâmetro
, a natureza da série
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
em função do parâmetro
. O conteúdo principal aqui é o critério da razão para séries de termos positivos e, no caso-limite, a fórmula de Stirling para analisar o termo geral.
Passo 2
Definimos o termo geral
Aplicando o teste da razão, calculamos
Como
quando
, temos
Passo 3
Pelo critério da razão para séries de termos positivos:
- Se
, i.e.\ , então a série converge. - Se
, i.e.\ , então a série diverge.
Passo 4
No caso-limite
, o limite da razão é 1 e o critério é inconclusivo. Usamos então a aproximação de Stirling:
Para
,
Como
, o termo geral não tende a zero, logo a série diverge.
Resposta
A série
converge se, e somente se,
, e diverge para
.