1. f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} é denominada esfericamente simétrica se existe uma função g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} tal que
f(X)=g(\|X\|)
Seja f é uma função esfericamente simétrica diferenciável em cada ponto de \mathbb{R}^{n}.
b) Mostrar que se X é um ponto crítico de f, então cada ponto com norma igual a \|X\| também ponto é crítico de f.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão.
  • Informação 1: f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} é esfericamente simétrica, ou seja, existe g:[0,\infty)\to\mathbb{R} tal que
f(X)=g(\|X\|)\quad\text{para todo }X\in\mathbb{R}^n.
  • Informação 2: f é diferenciável em cada ponto de \mathbb{R}^n.
  • Informação 3: X\in\mathbb{R}^n é um ponto crítico de f. (Isto significa que o gradiente de f em X é o vetor nulo, ou seja, todas as derivadas parciais em X são zero.)
O que se pede: mostrar que qualquer ponto Y\in\mathbb{R}^n com \|Y\|=\|X\| também é um ponto crítico de f.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação útil e recordar a função norma. Defina a função radial
r:\mathbb{R}^n\to[0,\infty),\qquad r(Z)=\|Z\|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+\cdots+z_n^2}.
Então f pode ser escrita como composição f=g\circ r, isto é,
f(Z)=g\big(r(Z)\big).
A ideia será usar a regra da cadeia para obter expressões das derivadas parciais (ou do gradiente) de f em pontos onde r é diferenciável.

Passo 3

Estudo da diferenciabilidade de r. A função r(Z)=\|Z\| é diferenciável em todo ponto Z com r(Z)>0. Nesses pontos, as derivadas parciais de r são conhecidas e fáceis de calcular: para Z=(z_1,\dots,z_n) com r(Z)>0,
\frac{\partial r}{\partial z_i}(Z)=\frac{z_i}{r(Z)},\qquad i=1,\dots,n.
Explicação curta do porquê: escrevendo r(Z)=(z_1^2+\cdots+z_n^2)^{1/2} e aplicando a regra da cadeia escalar para potência t^{1/2} obtém-se essa fórmula. Essas derivadas formam o gradiente de r:
\nabla r(Z)=\frac{1}{r(Z)}(z_1,\dots,z_n)=\frac{Z}{r(Z)}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para f=g\circ r em um ponto Z com r(Z)>0. Como f é diferenciável e g é diferenciável em r(Z) (já que f é diferenciável e é composição), temos para cada i
\frac{\partial f}{\partial z_i}(Z)=g'\big(r(Z)\big)\cdot\frac{\partial r}{\partial z_i}(Z).
Substituindo a expressão do passo anterior para \partial r/\partial z_i, obtemos
\frac{\partial f}{\partial z_i}(Z)=g'\big(r(Z)\big)\cdot\frac{z_i}{r(Z)}.
Portanto o gradiente de f em Z (quando r(Z)>0) é
\nabla f(Z)=g'\big(r(Z)\big)\,\frac{Z}{r(Z)}.
Comentário didático: isso significa que, fora da origem, o gradiente de uma função radial aponta na direção radial (mesma direção de Z) e seu módulo é |g'(r(Z))|. Essa é uma propriedade intuitiva: como f depende apenas da distância ao origem, a variação de f ocorre só quando se anda radialmente.

Passo 5

Agora usemos a expressão do gradiente para concluir o que é pedido no caso r(X)>0. Suponha \|X\|=r>0 e que X é ponto crítico, isto é,
\nabla f(X)=0.
Pelo passo anterior,
\nabla f(X)=g'(r)\,\frac{X}{r}=0.
Como \dfrac{X}{r} é um vetor não nulo (é um vetor unitário), a única forma de o produto ser o vetor nulo é que o escalar que multiplica seja zero. Logo
g'(r)=0.
Agora pegue qualquer Y com \|Y\|=r. Aplicando novamente a fórmula do gradiente (válida porque r>0),
\label{gradY} \nabla f(Y)=g'(r)\,\frac{Y}{r}.
Mas já vimos que g'(r)=0. Portanto \nabla f(Y)=0. Assim qualquer Y com \|Y\|=\|X\| é ponto crítico.

Passo 6

Trate o caso \|X\|=0 (ou seja, X=0). Se X=0 e X é ponto crítico, então estamos dizendo que o único ponto com norma 0 (que é o próprio 0) é crítico — não há outros pontos com a mesma norma, logo a afirmação do enunciado é trivial nesse caso. (Observação: para funções radiais diferenciáveis em toda \mathbb{R}^n costuma acontecer que \nabla f(0)=0, pela simetria; mas isso não é necessário aqui porque o conjunto de pontos com norma igual a 0 é apenas \{0\}.)

Passo 7

Resumo lógico final: se \|X\|=r>0 e X é crítico então g'(r)=0, e isso força \nabla f(Y)=0 para todo Y com \|Y\|=r. Se \|X\|=0 a conclusão é trivial porque não existem outros pontos com norma 0. Portanto em todos os casos qualquer ponto Y com \|Y\|=\|X\| é ponto crítico de f.
Exemplo concreto para intuir: se g(r)=r^2 então f(Z)=\|Z\|^2 e \nabla f(Z)=2Z. O único ponto crítico é Z=0 (todos os pontos com mesma norma de 0 são apenas 0). Se g(r)=r^3 então \nabla f(Z)=3r^2\cdot Z/r=3r Z; um X com r>0 é crítico apenas se 3r=0, impossível, então não há pontos críticos fora da origem — compatível com a regra geral.

Resposta

Se X é ponto crítico de f, então qualquer Y com \|Y\|=\|X\| também é ponto crítico de f.

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