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é denominada esfericamente simétrica se existe uma função
tal que
Seja
é uma função esfericamente simétrica diferenciável em cada ponto de
.
b) Mostrar que se
é um ponto crítico de
, então cada ponto com norma igual a
também ponto é crítico de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão.
- Informação 1:
é esfericamente simétrica, ou seja, existe tal que
- Informação 2:
é diferenciável em cada ponto de . - Informação 3:
é um ponto crítico de . (Isto significa que o gradiente de em é o vetor nulo, ou seja, todas as derivadas parciais em são zero.)
O que se pede: mostrar que qualquer ponto
com
também é um ponto crítico de
.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação útil e recordar a função norma. Defina a função radial
Então
pode ser escrita como composição
, isto é,
A ideia será usar a regra da cadeia para obter expressões das derivadas parciais (ou do gradiente) de
em pontos onde
é diferenciável.
Passo 3
Estudo da diferenciabilidade de
. A função
é diferenciável em todo ponto
com
. Nesses pontos, as derivadas parciais de
são conhecidas e fáceis de calcular: para
com
,
Explicação curta do porquê: escrevendo
e aplicando a regra da cadeia escalar para potência
obtém-se essa fórmula. Essas derivadas formam o gradiente de
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
em um ponto
com
. Como
é diferenciável e
é diferenciável em
(já que
é diferenciável e é composição), temos para cada
Substituindo a expressão do passo anterior para
, obtemos
Portanto o gradiente de
em
(quando
) é
Comentário didático: isso significa que, fora da origem, o gradiente de uma função radial aponta na direção radial (mesma direção de
) e seu módulo é
. Essa é uma propriedade intuitiva: como
depende apenas da distância ao origem, a variação de
ocorre só quando se anda radialmente.
Passo 5
Agora usemos a expressão do gradiente para concluir o que é pedido no caso
. Suponha
e que
é ponto crítico, isto é,
Pelo passo anterior,
Como
é um vetor não nulo (é um vetor unitário), a única forma de o produto ser o vetor nulo é que o escalar que multiplica seja zero. Logo
Agora pegue qualquer
com
. Aplicando novamente a fórmula do gradiente (válida porque
),
Mas já vimos que
. Portanto
. Assim qualquer
com
é ponto crítico.
Passo 6
Trate o caso
(ou seja,
). Se
e
é ponto crítico, então estamos dizendo que o único ponto com norma
(que é o próprio
) é crítico — não há outros pontos com a mesma norma, logo a afirmação do enunciado é trivial nesse caso. (Observação: para funções radiais diferenciáveis em toda
costuma acontecer que
, pela simetria; mas isso não é necessário aqui porque o conjunto de pontos com norma igual a
é apenas
.)
Passo 7
Resumo lógico final: se
e
é crítico então
, e isso força
para todo
com
. Se
a conclusão é trivial porque não existem outros pontos com norma
. Portanto em todos os casos qualquer ponto
com
é ponto crítico de
.
Exemplo concreto para intuir: se
então
e
. O único ponto crítico é
(todos os pontos com mesma norma de
são apenas
). Se
então
; um
com
é crítico apenas se
, impossível, então não há pontos críticos fora da origem — compatível com a regra geral.
Resposta
Se
é ponto crítico de
, então qualquer
com
também é ponto crítico de
.