- Encontre e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos de
e classificá‑los (mínimo, máximo ou ponto de sela). A função dada é
onde
é um vetor em
(qualquer
) e
denota a norma euclidiana de
. As informações relevantes que temos:
-
depende apenas de (é uma função radial). - Precisamos achar todos os
em onde o gradiente de é o vetor zero (ou onde a derivada não exista e precise ser verificada) e depois dizer se cada ponto crítico é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Vamos reduzir o problema a uma função unidimensional em
. Defina
de modo que
.
Primeiro calculemos
. Use regra do produto e da exponencial:
Colocando em evidência
obtemos a forma mais simples:
Explicação didática rápida: aqui usamos que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Em seguida agrupamos termos para fatorar
.
Passo 3
Relacionando o gradiente de
com
: para
(ou seja
) vale a regra padrão para funções radiais:
Justificativa: variar
numa direção
muda
com taxa
, e a derivada de
em
multiplica essa taxa — isso resulta na expressão acima. Substituindo
temos, para
,
Para encontrar pontos críticos com
resolvemos
. Como
e
, a condição reduz-se a
Portanto todos os vetores com
são pontos críticos (formam a esfera de raio
).
Agora verifiquemos o caso
(a origem). A fórmula acima foi derivada para
; precisamos checar a diferenciabilidade em
e o gradiente aí. Use derivadas direcionais: para qualquer vetor unitário
,
Como todas as derivadas direcionais são
e
é regular o suficiente, segue que
. Conclusão:
também é ponto crítico.
Resumo dos pontos críticos encontrados:
-
(origem). - Conjunto
(esfera de raio ).
Passo 4
Agora vamos classificar esses pontos críticos. Uma forma simples é usar o comportamento da função unidimensional
, já que
.
Observe o sinal de
:
- Para
temos (função crescente). - Para
temos (função decrescente).
Logoé um ponto de máximo relativo de . Como só depende de , um máximo relativo de em corresponde a um máximo relativo de em qualquer com . Além disso, como quando e também quando , o valor em é o maior valor que atinge — portanto é um máximo global.
Calcule o valor máximo:
Para a origem
: temos
. Para
pequeno,
, ou seja
próximos à origem. Portanto
é um mínimo relativo. Além disso, como
para todo
e
, a origem é mínimo global de
(e portanto de
). Observação: embora
, esse valor limite zero não é atingido em pontos finitos exceto em
, então o mínimo global efetivamente occurs em
.
Não há pontos de sela: todos os pontos críticos já foram classificados como mínimos ou máximos globais.
Passo 5
Síntese das justificativas (passos práticos para usar na prova):
- Reduza a função radial
e trabalhe com . - Ache
e resolva para . Lembre de checar separadamente (verificando derivadas direcionais). - Classifique usando o sinal de
antes e depois dos pontos críticos (ou usando se preferir). Aqui o monotonicidade de mostrou que é máximo e é mínimo. - Volte ao espaço
: pontos com dado correspondem a esferas de raio .