1. Encontre e classifique os pontos críticos da função
f(X)=\|X\|^{2} e^{-\|X\|} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos de f e classificá‑los (mínimo, máximo ou ponto de sela). A função dada é
f(X)=\|X\|^{2}e^{-\|X\|},
onde X é um vetor em \mathbb{R}^{n} (qualquer n\ge1) e \|X\| denota a norma euclidiana de X. As informações relevantes que temos:
  • f depende apenas de r=\|X\| (é uma função radial).
  • Precisamos achar todos os X em \mathbb{R}^{n} onde o gradiente de f é o vetor zero (ou onde a derivada não exista e precise ser verificada) e depois dizer se cada ponto crítico é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Vamos reduzir o problema a uma função unidimensional em r=\|X\|. Defina
g(r)=r^{2}e^{-r},\qquad r\ge0,
de modo que f(X)=g(\|X\|).
Primeiro calculemos g'(r). Use regra do produto e da exponencial:
g'(r)=\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)\,e^{-r}+r^{2}\,\frac{d}{dr}\big(e^{-r}\big) =2r e^{-r}+r^{2}(-e^{-r}).
Colocando em evidência e^{-r} obtemos a forma mais simples:
g'(r)=e^{-r}(2r-r^{2})=r e^{-r}(2-r).
Explicação didática rápida: aqui usamos que a derivada de r^{2} é 2r e a derivada de e^{-r} é -e^{-r}. Em seguida agrupamos termos para fatorar e^{-r}.

Passo 3

Relacionando o gradiente de f com g'(r): para X\neq0 (ou seja r>0) vale a regra padrão para funções radiais:
\nabla f(X)=g'(r)\,\frac{X}{r}.
Justificativa: variar X numa direção u muda r com taxa \langle X/r,u\rangle, e a derivada de g em r multiplica essa taxa — isso resulta na expressão acima. Substituindo g'(r) temos, para r>0,
\nabla f(X)=\big(r e^{-r}(2-r)\big)\frac{X}{r}=e^{-r}(2-r)X.
Para encontrar pontos críticos com X\neq0 resolvemos \nabla f(X)=0. Como e^{-r}>0 e X\neq0, a condição reduz-se a
2-r=0\quad\Longrightarrow\quad r=2.
Portanto todos os vetores com \|X\|=2 são pontos críticos (formam a esfera de raio 2).
Agora verifiquemos o caso X=0 (a origem). A fórmula acima foi derivada para r>0; precisamos checar a diferenciabilidade em 0 e o gradiente aí. Use derivadas direcionais: para qualquer vetor unitário u,
\lim_{t\to0}\frac{f(tu)-f(0)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{t^{2}e^{-t}}{t}=\lim_{t\to0}t e^{-t}=0.
Como todas as derivadas direcionais são 0 e f é regular o suficiente, segue que \nabla f(0)=0. Conclusão: X=0 também é ponto crítico.
Resumo dos pontos críticos encontrados:
  • X=0 (origem).
  • Conjunto \{X\in\mathbb{R}^{n}:\|X\|=2\} (esfera de raio 2).

Passo 4

Agora vamos classificar esses pontos críticos. Uma forma simples é usar o comportamento da função unidimensional g(r)=r^{2}e^{-r}, já que f(X)=g(\|X\|).
Observe o sinal de g'(r)=r e^{-r}(2-r):
  • Para 0<r<2 temos g'(r)>0 (função crescente).
  • Para r>2 temos g'(r)<0 (função decrescente).
    Logo r=2 é um ponto de máximo relativo de g. Como f só depende de r, um máximo relativo de g em r=2 corresponde a um máximo relativo de f em qualquer X com \|X\|=2. Além disso, como g(r)\to0 quando r\to0 e também quando r\to\infty, o valor em r=2 é o maior valor que g atinge — portanto é um máximo global.
Calcule o valor máximo:
g(2)=2^{2}e^{-2}=4e^{-2}.
Para a origem r=0: temos g(0)=0. Para r>0 pequeno, g(r)=r^{2}e^{-r}>0, ou seja g(r)>g(0) próximos à origem. Portanto r=0 é um mínimo relativo. Além disso, como g(r)\ge0 para todo r e g(0)=0, a origem é mínimo global de g (e portanto de f). Observação: embora \lim_{r\to\infty}g(r)=0, esse valor limite zero não é atingido em pontos finitos exceto em r=0, então o mínimo global efetivamente occurs em X=0.
Não há pontos de sela: todos os pontos críticos já foram classificados como mínimos ou máximos globais.

Passo 5

Síntese das justificativas (passos práticos para usar na prova):
  • Reduza a função radial f(X)=g(\|X\|) e trabalhe com g(r)=r^{2}e^{-r}.
  • Ache g'(r) e resolva g'(r)=0 para r\ge0. Lembre de checar r=0 separadamente (verificando derivadas direcionais).
  • Classifique usando o sinal de g'(r) antes e depois dos pontos críticos (ou usando g''(r) se preferir). Aqui o monotonicidade de g mostrou que r=2 é máximo e r=0 é mínimo.
  • Volte ao espaço \mathbb{R}^{n}: pontos com dado r correspondem a esferas de raio r.

Resposta

X=0 é ponto crítico e é mínimo global (valor 0).
\{X\in\mathbb{R}^{n}:\|X\|=2\} é o conjunto de pontos críticos e corresponde ao máximo global, com valor 4e^{-2}.

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