- Dados
em
e
em
, considere a função:
Seja
a função que determina a distância do ponto
do grafico de
à origem de coordenadas de
. Mostrar
que é o único ponto crítico de
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Um vetor
e um escalar . - A função linear
, com . - A função
é a distância do ponto até a origem em .
O que é pedido:
- Mostrar que o único ponto crítico de
é
Informações relevantes fornecidas:
- A distância euclidiana em
entre e a origem é dada por . -
denota o quadrado da norma euclidiana de , isto é .
Passo 2
Escrever
explicitamente. A distância do ponto
à origem é
Para trabalhar com derivadas fica mais simples trabalhar com o quadrado da distância. Defina
Observação importante (justificativa do método): para
tal que
vale, pela regra da cadeia,
então
se e somente se
. Se existir
com
isso significa que
é a origem; então
e
, e esse caso será incluído na solução de
. Assim é suficiente encontrar os pontos críticos de
.
Passo 3
Calcular
. Escrevemos
como soma de duas funções suaves:
- Derivada de
é . Explicação curta: componente a componente, . - Derivada de
: trate (escalares). Então por cadeia . Como , obtemos .
Portanto
Passo 4
Impor condição de ponto crítico:
. Assim
Dividindo por
,
Esta é uma equação vetorial linear em
. Para resolver, observe que a equação mostra que
é combinação de
; ou seja,
é paralelo a
. Vamos escrever
na forma
para algum escalar
(essa forma é justificada porque a equação implica que a componente de
perpendicular a
deve ser zero — se
então aplicando o projetor ortogonal vê-se que
). Agora calcule
:
Passo 5
Substituir
na equação crítica:
Agrupando termos em
:
Como
pode ser o vetor zero ou não, trate os dois casos:
- Se
então é constante e . A condição vira , logo . A fórmula proposta dá , coincide com o caso . - Se
então podemos dividir por (ou mais precisamente o coeficiente do deve ser zero):
Assim
Logo o ponto crítico é
Passo 6
Provar unicidade do ponto crítico. Podemos observar o Hessiano de
para ver que
é estritamente convexa, o que garante unicidade. Calcule o Hessiano:
onde
é a matriz identidade e
é a matriz de posto ≤1 com ação
. Para qualquer
tem-se
Logo
é definida positiva, portanto
é estritamente convexa e admite exatamente um ponto crítico, que é o mínimo global. Assim o ponto crítico encontrado é único.