1. Dados C em \mathbb{R}^{n} e b em \mathbb{R}, considere a função:
f(X)=C \cdot X+b, X \in \mathbb{R}^{n} .
Seja g(X) a função que determina a distância do ponto (X, f(X)) \in \mathbb{R}^{n+1} do grafico de f à origem de coordenadas de \mathbb{R}^{n+1}. Mostrar
\left(\frac{-b}{1+\|C\|^{2}}\right) C
que é o único ponto crítico de g.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um vetor C\in\mathbb{R}^{n} e um escalar b\in\mathbb{R}.
  • A função linear \;f(X)=C\cdot X+b, com X\in\mathbb{R}^{n}.
  • A função g(X) é a distância do ponto (X,f(X))\in\mathbb{R}^{n+1} até a origem em \mathbb{R}^{n+1}.
O que é pedido:
  • Mostrar que o único ponto crítico de g é
\left(\frac{-b}{1+\|C\|^{2}}\right) C.
Informações relevantes fornecidas:
  • A distância euclidiana em \mathbb{R}^{n+1} entre (X,f(X)) e a origem é dada por \sqrt{\|X\|^{2}+f(X)^{2}}.
  • \|C\|^{2} denota o quadrado da norma euclidiana de C, isto é \|C\|^{2}=C\cdot C.

Passo 2

Escrever g explicitamente. A distância do ponto (X,f(X)) à origem é
g(X)=\sqrt{\|X\|^{2}+\bigl(C\cdot X+b\bigr)^{2}}.
Para trabalhar com derivadas fica mais simples trabalhar com o quadrado da distância. Defina
h(X)=g(X)^{2}=\|X\|^{2}+\bigl(C\cdot X+b\bigr)^{2}.
Observação importante (justificativa do método): para X tal que g(X)>0 vale, pela regra da cadeia,
\nabla g(X)=\frac{1}{2g(X)}\,\nabla h(X),
então \nabla g(X)=0 se e somente se \nabla h(X)=0. Se existir X com g(X)=0 isso significa que (X,f(X)) é a origem; então X=0 e b=0, e esse caso será incluído na solução de \nabla h(X)=0. Assim é suficiente encontrar os pontos críticos de h.

Passo 3

Calcular \nabla h(X). Escrevemos h como soma de duas funções suaves:
h(X)=\|X\|^{2}+\bigl(C\cdot X+b\bigr)^{2}.
  • Derivada de \|X\|^{2}=X\cdot X é \nabla(\|X\|^{2})=2X. Explicação curta: componente a componente, \partial(\sum_i X_i^2)/\partial X_j = 2X_j.
  • Derivada de \bigl(C\cdot X+b\bigr)^{2}: trate u(X)=C\cdot X+b (escalares). Então por cadeia \nabla(u^{2})=2u\,\nabla u. Como \nabla(C\cdot X)=C, obtemos \nabla\bigl((C\cdot X+b)^{2}\bigr)=2(C\cdot X+b)\,C.
Portanto
\nabla h(X)=2X+2\bigl(C\cdot X+b\bigr)C.

Passo 4

Impor condição de ponto crítico: \nabla h(X)=0. Assim
2X+2\bigl(C\cdot X+b\bigr)C=0.
Dividindo por 2,
X+\bigl(C\cdot X+b\bigr)C=0.
Esta é uma equação vetorial linear em X. Para resolver, observe que a equação mostra que X é combinação de C; ou seja, X é paralelo a C. Vamos escrever X na forma
X=t\,C
para algum escalar t\in\mathbb{R} (essa forma é justificada porque a equação implica que a componente de X perpendicular a C deve ser zero — se v\perp C então aplicando o projetor ortogonal vê-se que v=0). Agora calcule C\cdot X:
C\cdot X = C\cdot(tC)=t\,\|C\|^{2}.

Passo 5

Substituir X=tC na equação crítica:
tC +\bigl(t\|C\|^{2}+b\bigr)C=0.
Agrupando termos em C:
\bigl(t+t\|C\|^{2}+b\bigr)C=0.
Como C pode ser o vetor zero ou não, trate os dois casos:
  • Se C=0 então f(X)=b é constante e g(X)=\sqrt{\|X\|^{2}+b^{2}}. A condição \nabla h(X)=0 vira 2X+2(b)0=2X=0, logo X=0. A fórmula proposta dá \tfrac{-b}{1+\|C\|^{2}}C=\tfrac{-b}{1+0}0=0, coincide com o caso C=0.
  • Se C\neq 0 então podemos dividir por C (ou mais precisamente o coeficiente do C deve ser zero):
t(1+\|C\|^{2})+b=0.
Assim
t=-\frac{b}{1+\|C\|^{2}}.
Logo o ponto crítico é
X^{*}=tC=-\frac{b}{1+\|C\|^{2}}\,C.

Passo 6

Provar unicidade do ponto crítico. Podemos observar o Hessiano de h para ver que h é estritamente convexa, o que garante unicidade. Calcule o Hessiano:
\nabla^{2}h(X)=2I+2\,C C^{T},
onde I é a matriz identidade e C C^{T} é a matriz de posto ≤1 com ação v\mapsto (C\cdot v)C. Para qualquer v\in\mathbb{R}^{n} tem-se
v^{T}\bigl(2I+2CC^{T}\bigr)v=2\|v\|^{2}+2(C\cdot v)^{2}\ge 2\|v\|^{2}>0\quad\text{se }v\neq 0.
Logo \nabla^{2}h é definida positiva, portanto h é estritamente convexa e admite exatamente um ponto crítico, que é o mínimo global. Assim o ponto crítico encontrado é único.

Resposta

-\frac{b}{1+\|C\|^{2}}\,C

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