4 { }^{\mathbf{0}} ) ( \mathbf{2 , 50} pontos) Um circuito RL possui R=4 \Omega, L=8 \mathrm{H} e o gerador ideal possui uma F.E.M igual a 20 V . O circuito é ligado em t=0. Determine:
a) ( \mathbf{0 , 5 0} ponto) a d.d.p no resistor em t=2 s;
b) ( \mathbf{1 , 0 0} ponto) a d.d.p no indutor em t=2 s;
c) ( \mathbf{1 , 0 0} ponto) a energia fornecida pelo gerador entre t=0 e t=2 s.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RL ligado por um gerador ideal com fem constante e pede três coisas em t=2\\ \mathrm{s}:
  • Dados fornecidos:
R=4\\ \Omega,\qquad L=8\\ \mathrm{H},\qquad E=20\\ \mathrm{V},
o circuito é ligado em t=0 e supondo corrente inicial i(0)=0.
  • Perguntas:
    (a) a diferença de potencial no resistor em t=2\\ \mathrm{s};
    (b) a diferença de potencial no indutor em t=2\\ \mathrm{s};
    (c) a energia fornecida pelo gerador entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Montar a equação do circuito (Lei de Kirchhoff das tensões): a tensão do gerador é igual à soma das tensões no resistor e no indutor. Em fórmulas:
E = v_R + v_L.
Sabemos que v_R = R\,i(t) e v_L = L\,\dfrac{di}{dt}. Substituindo obtemos a equação diferencial:
L\frac{di}{dt} + R\,i(t) = E.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Aqui:
i(t)\\ \text{é a corrente no circuito}, \qquad \frac{di}{dt}\\ \text{é a derivada da corrente em relação ao tempo}.ééçã

Passo 3

Resolver a equação diferencial. Primeiro definimos a constante de tempo
\tau=\frac{L}{R}.
Substituindo L e R:
\tau=\frac{8}{4}=2\\ \mathrm{s}.
A solução geral da eq. L\frac{di}{dt}+Ri=E é soma da solução homogênea e de uma particular:
  • solução particular constante: i_p=\dfrac{E}{R};
  • solução homogênea: i_h(t)=K e^{-t/\tau}.
Portanto
i(t)=\frac{E}{R}+K e^{-t/\tau}.
Aplicando a condição inicial i(0)=0:
0=\frac{E}{R}+K \quad\Rightarrow\quad K=-\frac{E}{R}.
Logo
i(t)=\frac{E}{R}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
Substituímos E=20\\ \mathrm{V}, R=4\\ \Omega e \tau=2\\ \mathrm{s} para obter a expressão numérica:
i(t)=5\bigl(1-e^{-t/2}\bigr)\\ \mathrm{A}.
Em particular, em t=2\\ \mathrm{s}:
i(2)=5\bigl(1-e^{-1}\bigr)\\ \mathrm{A}\approx 5\cdot(1-0,367879)\approx 3,1606\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calcular a d.d.p. no resistor. Usamos v_R(t)=R\,i(t). Substituindo:
v_R(t)=R\cdot\frac{E}{R}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)=E\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
Portanto, em t=2\\ \mathrm{s}:
v_R(2)=20\bigl(1-e^{-1}\bigr)\\ \mathrm{V}\approx 20\cdot 0,6321206\approx 12,6424\\ \mathrm{V}.
Observação didática: aqui apareceu uma simplificação bonita — a tensão no resistor tende para E quando o circuito alcança regime permanente, porque a queda no indutor vai a zero com o tempo.

Passo 5

Calcular a d.d.p. no indutor. Usamos v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}. Derivamos i(t):
\frac{di}{dt}=\frac{E}{R}\cdot\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}.
Mas \dfrac{1}{\tau}=\dfrac{R}{L}, então simplifica-se para
\frac{di}{dt}=\frac{E}{L}e^{-t/\tau}.
Multiplicando por L:
v_L(t)=L\frac{di}{dt}=E\,e^{-t/\tau}.
Em t=2\\ \mathrm{s}:
v_L(2)=20\,e^{-1}\\ \mathrm{V}\approx 20\cdot 0,367879\approx 7,3576\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida: v_R(2)+v_L(2)\approx 12,6424+7,3576=20\\ \mathrm{V}, que bate com a fem do gerador — bom sinal.

Passo 6

Calcular a energia fornecida pelo gerador entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}. A potência fornecida pelo gerador é p(t)=E\,i(t). A energia fornecida é a integral:
W=\int_{0}^{2} E\,i(t)\,dt = E\int_{0}^{2} \frac{E}{R}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\,dt.
Fatorando:
W=\frac{E^{2}}{R}\int_{0}^{2}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{2}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\,dt = \left[t+\tau e^{-t/\tau}\right]_{0}^{2} = \bigl(2+\tau e^{-2/\tau}\bigr)-\bigl(0+\tau e^{0}\bigr).
Como \tau=2, temos 2/\tau=1, então:
\int_{0}^{2}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\,dt = 2+2e^{-1}-2 = 2e^{-1}.
Portanto
W=\frac{E^{2}}{R}\cdot 2e^{-1}.
Substituindo E^{2}/R=100 e 2e^{-1}=2/e:
W=100\cdot\frac{2}{e}=\frac{200}{e}\\ \mathrm{J}\approx 73,5759\\ \mathrm{J}.
Checagem física (útil para prova): parte dessa energia ficou armazenada no indutor em t=2, dada por W_L=\tfrac{1}{2}L\,i^{2}(2)\approx 39,9576\\ \mathrm{J}, e o restante foi dissipada no resistor ao longo do intervalo; a soma dá a energia total fornecida pelo gerador.

Resposta

(a) v_R(2)=20\bigl(1-e^{-1}\bigr)\\ \mathrm{V}\approx 12,642\\ \mathrm{V}
(b) v_L(2)=20e^{-1}\\ \mathrm{V}\approx 7,358\\ \mathrm{V}
(c) W=\dfrac{200}{e}\\ \mathrm{J}\approx 73,576\\ \mathrm{J}

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