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) (
pontos) Um circuito RL possui
e o gerador ideal possui uma F.E.M igual a 20 V . O circuito é ligado em
. Determine:
a) (
ponto) a d.d.p no resistor em
;
b) (
ponto) a d.d.p no indutor em
;
c) (
ponto) a energia fornecida pelo gerador entre
e
.
a) (
b) (
c) (
Passo 1
O enunciado dá um circuito série RL ligado por um gerador ideal com fem constante e pede três coisas em
:
- Dados fornecidos:
o circuito é ligado em
e supondo corrente inicial
.
- Perguntas:
(a) a diferença de potencial no resistor em;
(b) a diferença de potencial no indutor em;
(c) a energia fornecida pelo gerador entree .
Passo 2
Montar a equação do circuito (Lei de Kirchhoff das tensões): a tensão do gerador é igual à soma das tensões no resistor e no indutor. Em fórmulas:
Sabemos que
e
. Substituindo obtemos a equação diferencial:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Aqui:
Passo 3
Resolver a equação diferencial. Primeiro definimos a constante de tempo
Substituindo
e
:
A solução geral da eq.
é soma da solução homogênea e de uma particular:
- solução particular constante:
; - solução homogênea:
.
Portanto
Aplicando a condição inicial
:
Logo
Substituímos
,
e
para obter a expressão numérica:
Em particular, em
:
Passo 4
Calcular a d.d.p. no resistor. Usamos
. Substituindo:
Portanto, em
:
Observação didática: aqui apareceu uma simplificação bonita — a tensão no resistor tende para
quando o circuito alcança regime permanente, porque a queda no indutor vai a zero com o tempo.
Passo 5
Calcular a d.d.p. no indutor. Usamos
. Derivamos
:
Mas
, então simplifica-se para
Multiplicando por
:
Em
:
Verificação rápida:
, que bate com a fem do gerador — bom sinal.
Passo 6
Calcular a energia fornecida pelo gerador entre
e
. A potência fornecida pelo gerador é
. A energia fornecida é a integral:
Fatorando:
Calcule a integral:
Como
, temos
, então:
Portanto
Substituindo
e
:
Checagem física (útil para prova): parte dessa energia ficou armazenada no indutor em
, dada por
, e o restante foi dissipada no resistor ao longo do intervalo; a soma dá a energia total fornecida pelo gerador.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)