Dois patinadores sobre gelo, de mesma massa m se aproximam um do outro com velocidades em relação ao solo de mesmo módulo v_{0}, segundo trajetórias paralelas separadas por uma distância r. Ao chegarem na situação de maior aproximação eles se dão as mãos e começam a girar mantendo sempre a distância r entre eles. Despreze o atrito dos patins com o gelo e considere os patinadores como partículas nesse problema.
(a) Calcule o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a velocidade angular de rotação \omega que os patinadores adquirem após se darem a mãos.
(b) Suponha, neste item, que depois de estarem em rotação com velocidade \omega, os patinadores diminuam para r / 2 a distãncia que os separa. Nessa situação, calcule a nova velocidade de rotação do sistema dos dois patinadores?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a velocidade angular de rotação \omega que os patinadores adquirem após se darem as mãos.
  • (b) Depois, supondo que eles diminuam a distância entre si para r/2, calcular a nova velocidade angular do sistema.
Dados fornecidos (lista explícita):
  • As duas massas são iguais: m.
  • As velocidades têm mesmo módulo: v_{0}.
  • As trajetórias são paralelas e separadas por uma distância r.
  • No instante da maior aproximação (quando se dão as mãos) a distância entre eles é r.
  • Despreza-se atrito e eles são tratados como partículas.
  • Não há forças externas com torque sobre o sistema (podemos usar conservação do momento angular).

Passo 2

Primeiro vamos ver a posição do centro de massa e o momento linear total no instante em que se dão as mãos. Como as massas são iguais e as velocidades têm módulos iguais e sentidos opostos (eles se aproximam um do outro), a soma vetorial dos momentos lineares é zero. Portanto o centro de massa está em repouso naquele referencial e podemos calcular o momento angular total em relação a esse centro de massa sem ter que considerar movimento de translação do sistema.

Passo 3

Definimos um sistema de coordenadas conveniente para calcular o momento angular. Colocamos o centro de massa na origem. No instante da maior aproximação as posições relativas são
\mathbf{r}_1 = \left(0,\frac{r}{2}\right),\qquad \mathbf{r}_2 = \left(0,-\frac{r}{2}\right).
As velocidades (e, portanto, os momentos lineares) são ao longo do eixo x, com
\mathbf{p}_1 = m v_0\,\hat{\mathbf{x}},\qquad \mathbf{p}_2 = -m v_0\,\hat{\mathbf{x}}.
Lembrete rápido sobre momento angular de uma partícula: o momento angular relativo à origem é \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}. Em 2D, a componente não nula é a componente z dada por L_z = r_x p_y - r_y p_x. Aqui p_y=0 para ambos.

Passo 4

Calculamos o momento angular de cada patinador em relação ao centro de massa.
Para o patinador 1:
L_{1,z} = r_{1,y}\,p_{1,x} = \frac{r}{2}\cdot (m v_0)=\frac{m v_0 r}{2}.
Para o patinador 2:
L_{2,z} = r_{2,y}\,p_{2,x} = \left(-\frac{r}{2}\right)\cdot(-m v_0)=\frac{m v_0 r}{2}.
Somando os dois:
L = L_{1,z}+L_{2,z} = \frac{m v_0 r}{2}+\frac{m v_0 r}{2}=m v_0 r.
Portanto o momento angular total do sistema em relação ao centro de massa é
\boxed{L = m v_{0} r.}

Passo 5

Agora vamos achar a velocidade angular \omega imediatamente após se darem as mãos. Quando giram agarrados mantendo distância r entre eles, cada patinador descreve um círculo de raio R=\tfrac{r}{2} ao redor do centro de massa. Para pontos materiais, o momento de inércia em relação ao centro é
I=\sum m_i R_i^2.
Aqui são dois pontos com mesma massa m e mesmo raio R=\tfrac{r}{2}, então
I = 2\; m\left(\frac{r}{2}\right)^2 = 2m\frac{r^2}{4}=\frac{m r^2}{2}.

Passo 6

Usamos conservação do momento angular (não há torques externos): o momento angular L calculado antes passa a ser o momento angular da rotação, que é L=I\omega. Logo
\omega=\frac{L}{I}=\frac{m v_0 r}{\dfrac{m r^2}{2}}=\frac{m v_0 r}{1}\cdot\frac{2}{m r^2}=\frac{2 v_0}{r}.
Portanto
\boxed{\omega=\frac{2 v_{0}}{r}.}

Passo 7

Agora o item (b): eles, estando em rotação com \omega, diminuem a distância que os separa para r/2. Supondo que isso ocorra sem troca de momento angular com o ambiente (nenhum torque externo), o momento angular total L se conserva. Precisamos calcular o novo momento de inércia I' quando a separação passa a ser r'=\tfrac{r}{2}.
Cada patinador passa a estar a uma distância do centro de massa igual a R'=\tfrac{r'}{2}=\tfrac{r/2}{2}=\tfrac{r}{4}. Então
I' = 2\; m\left(\frac{r}{4}\right)^2 = 2m\frac{r^2}{16}=\frac{m r^2}{8}.

Passo 8

Conservação do momento angular: L=I\omega=I'\omega'. Assim
\omega'=\frac{L}{I'}=\frac{m v_0 r}{\dfrac{m r^2}{8}}=\frac{m v_0 r}{1}\cdot\frac{8}{m r^2}=\frac{8 v_0}{r}.
Também podemos relacionar com \omega anterior: \omega'=\omega\cdot\frac{I}{I'}=\omega\cdot 4, e como \omega=2v_0/r obtemos \omega'=8v_0/r, consistente.

Passo 9

Resumo físico curto (para fixar): encurtar a distância reduz muito o momento de inércia (aqui de \tfrac{m r^2}{2} para \tfrac{m r^2}{8}, fator 4), e para conservar o momento angular a velocidade angular aumenta no mesmo fator (aqui multiplicou por 4).

Resposta

(a) L = m v_{0} r
(a) \omega=\dfrac{2 v_{0}}{r}
(b) \omega'=\dfrac{8 v_{0}}{r}

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