Dois patinadores sobre gelo, de mesma massa
se aproximam um do outro com velocidades em relação ao solo de mesmo módulo
, segundo trajetórias paralelas separadas por uma distância
. Ao chegarem na situação de maior aproximação eles se dão as mãos e começam a girar mantendo sempre a distância
entre eles. Despreze o atrito dos patins com o gelo e considere os patinadores como partículas nesse problema.
(a) Calcule o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a velocidade angular de rotação
que os patinadores adquirem após se darem a mãos.
(b) Suponha, neste item, que depois de estarem em rotação com velocidade
, os patinadores diminuam para
a distãncia que os separa. Nessa situação, calcule a nova velocidade de rotação do sistema dos dois patinadores?
(a) Calcule o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a velocidade angular de rotação
(b) Suponha, neste item, que depois de estarem em rotação com velocidade
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o momento angular do sistema relativo ao seu centro de massa e a velocidade angular de rotação
que os patinadores adquirem após se darem as mãos. - (b) Depois, supondo que eles diminuam a distância entre si para
, calcular a nova velocidade angular do sistema.
Dados fornecidos (lista explícita):
- As duas massas são iguais:
. - As velocidades têm mesmo módulo:
. - As trajetórias são paralelas e separadas por uma distância
. - No instante da maior aproximação (quando se dão as mãos) a distância entre eles é
. - Despreza-se atrito e eles são tratados como partículas.
- Não há forças externas com torque sobre o sistema (podemos usar conservação do momento angular).
Passo 2
Primeiro vamos ver a posição do centro de massa e o momento linear total no instante em que se dão as mãos. Como as massas são iguais e as velocidades têm módulos iguais e sentidos opostos (eles se aproximam um do outro), a soma vetorial dos momentos lineares é zero. Portanto o centro de massa está em repouso naquele referencial e podemos calcular o momento angular total em relação a esse centro de massa sem ter que considerar movimento de translação do sistema.
Passo 3
Definimos um sistema de coordenadas conveniente para calcular o momento angular. Colocamos o centro de massa na origem. No instante da maior aproximação as posições relativas são
As velocidades (e, portanto, os momentos lineares) são ao longo do eixo
, com
Lembrete rápido sobre momento angular de uma partícula: o momento angular relativo à origem é
. Em 2D, a componente não nula é a componente
dada por
. Aqui
para ambos.
Passo 4
Calculamos o momento angular de cada patinador em relação ao centro de massa.
Para o patinador 1:
Para o patinador 2:
Somando os dois:
Portanto o momento angular total do sistema em relação ao centro de massa é
Passo 5
Agora vamos achar a velocidade angular
imediatamente após se darem as mãos. Quando giram agarrados mantendo distância
entre eles, cada patinador descreve um círculo de raio
ao redor do centro de massa. Para pontos materiais, o momento de inércia em relação ao centro é
Aqui são dois pontos com mesma massa
e mesmo raio
, então
Passo 6
Usamos conservação do momento angular (não há torques externos): o momento angular
calculado antes passa a ser o momento angular da rotação, que é
. Logo
Portanto
Passo 7
Agora o item (b): eles, estando em rotação com
, diminuem a distância que os separa para
. Supondo que isso ocorra sem troca de momento angular com o ambiente (nenhum torque externo), o momento angular total
se conserva. Precisamos calcular o novo momento de inércia
quando a separação passa a ser
.
Cada patinador passa a estar a uma distância do centro de massa igual a
. Então
Passo 8
Conservação do momento angular:
. Assim
Também podemos relacionar com
anterior:
, e como
obtemos
, consistente.
Passo 9
Resumo físico curto (para fixar): encurtar a distância reduz muito o momento de inércia (aqui de
para
, fator 4), e para conservar o momento angular a velocidade angular aumenta no mesmo fator (aqui multiplicou por 4).
Resposta
(a)
(a)
(b)
(a)
(b)