Uma porta com momento de inércia I em relação a um eixo que passa pelas suas dobradiças está inicialmente em repouso. Uma porção de lama pegajosa de massa m se choca perpendicularmente à porta a uma distância d do eixo da dobradiça e permanece grudada com a porta após o choque. Supondo que o módulo da velocidade da porção de lama logo antes do choque seja v_{0}, calcule o módulo da velocidade angular do sistema porta-lama logo após o choque.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: uma porta tem momento de inércia \;I\; em relação ao eixo pelas dobradiças.
  • Informação: uma porção de lama de massa \;m\; se choca perpendicularmente com a porta a uma distância \;d\; do eixo e fica grudada.
  • Informação: o módulo da velocidade da lama pouco antes do choque é \;v_{0}\;.
  • Informação: a porta está inicialmente em repouso.
  • Pedido: calcular o módulo da velocidade angular do sistema porta+lama imediatamente após o choque.

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicado passo a passo):
  • Vamos usar a conservação do momento angular em torno do eixo das dobradiças durante o choque. O momento angular L de um corpo é, de forma intuitiva, a “quantidade de rotação” associada ao seu movimento linear visto a partir de um ponto (aqui, o eixo).
  • Definição prática que precisamos: o momento angular de uma partícula de massa \;m\; com velocidade \mathbf{v} em relação a um ponto situado a um vetor posição \mathbf{r} é \mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}, onde \mathbf{p}=m\mathbf{v} é o momento linear; o módulo é L = r\,p\,\sin\theta, com \theta o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{p}.
  • Por que podemos conservar o momento angular aqui: durante o choque, as forças externas que poderiam exercer torque em relação ao eixo (por exemplo, a reação da dobradiça) aplicam força no próprio eixo, portanto produzem torque nulo em relação a esse eixo; o choque é rápido, assim outros torques (como o peso) têm efeito desprezível no instante do impacto. Logo, o momento angular total em torno do eixo é conservado durante o impacto.
  • Observação importante: a energia mecânica não precisa ser conservada (o choque é inelástico, já que a lama gruda), mas o momento angular em torno do eixo é conservado.

Passo 3

Calcular o momento angular inicial (antes do choque):
  • A porta está em repouso, então sua contribuição inicial é zero.
  • A lama é uma partícula que se move com velocidade de módulo \;v_{0}\; e impacta perpendicularmente à porta a uma distância \;d\; do eixo; portanto o vetor posição e o vetor velocidade são perpendiculares, o que faz \sin\theta = 1.
  • O módulo do momento linear da lama é p = m v_{0}.
  • Logo o momento angular da lama em relação ao eixo é
L_{\text{inicial}} = r\,p\,\sin\theta = d \cdot (m v_{0}) \cdot 1 = m v_{0} d.

Passo 4

Calcular o momento angular final (logo após o choque), em termos da velocidade angular \omega:
  • Depois do choque, a lama ficou grudada na porta e o conjunto gira com velocidade angular \omega.
  • O momento angular de um corpo rígido que gira em torno de um eixo vale L = I_{\text{total}}\,\omega, onde I_{\text{total}} é o momento de inércia do sistema em relação ao mesmo eixo.
  • O momento de inércia da porta é dado \;I\;. A lama, tratada como partícula localizada a distância \;d\; do eixo, tem momento de inércia \;m d^{2}\; (fórmula: momento de inércia de uma massa pontual a distância r é m r^{2}).
  • Portanto o momento de inércia total do sistema porta+lama é
I_{\text{total}} = I + m d^{2},
e o momento angular final tem módulo
L_{\text{final}} = (I + m d^{2})\,\omega.

Passo 5

Aplicar a conservação do momento angular e resolver para \omega:
  • Pela conservação do momento angular em torno do eixo durante o choque temos
L_{\text{inicial}} = L_{\text{final}}.
  • Substituindo os resultados dos passos anteriores:
m v_{0} d = (I + m d^{2})\,\omega.
  • Isolando \omega:
\omega = \frac{m v_{0} d}{I + m d^{2}}.
  • Interpretação rápida e checagem de consistência:
    • Unidades: no numerador temos [\text{kg}]\cdot[\text{m/s}]\cdot[\text{m}] = \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}; no denominador [\text{kg}\,\text{m}^2] ou momento de inércia, então \omega tem unidade 1/\text{s}, correta.
    • Casos-limite: se m muito pequeno, \omega\approx \dfrac{m v_{0} d}{I} pequeno; se I desprezível comparado a m d^{2}, \omega\approx \dfrac{v_{0}}{d}, que corresponde ao caso em que a lama domina a inércia (faz sentido físico).

Resposta

\omega = \frac{m v_{0} d}{I + m d^{2}}

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