Uma porta com momento de inércia
em relação a um eixo que passa pelas suas dobradiças está inicialmente em repouso. Uma porção de lama pegajosa de massa
se choca perpendicularmente à porta a uma distância
do eixo da dobradiça e permanece grudada com a porta após o choque. Supondo que o módulo da velocidade da porção de lama logo antes do choque seja
, calcule o módulo da velocidade angular do sistema porta-lama logo após o choque.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: uma porta tem momento de inércia
em relação ao eixo pelas dobradiças. - Informação: uma porção de lama de massa
se choca perpendicularmente com a porta a uma distância do eixo e fica grudada. - Informação: o módulo da velocidade da lama pouco antes do choque é
. - Informação: a porta está inicialmente em repouso.
- Pedido: calcular o módulo da velocidade angular do sistema porta+lama imediatamente após o choque.
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicado passo a passo):
- Vamos usar a conservação do momento angular em torno do eixo das dobradiças durante o choque. O momento angular
de um corpo é, de forma intuitiva, a “quantidade de rotação” associada ao seu movimento linear visto a partir de um ponto (aqui, o eixo). - Definição prática que precisamos: o momento angular de uma partícula de massa
com velocidade em relação a um ponto situado a um vetor posição é , onde é o momento linear; o módulo é , com o ângulo entre e . - Por que podemos conservar o momento angular aqui: durante o choque, as forças externas que poderiam exercer torque em relação ao eixo (por exemplo, a reação da dobradiça) aplicam força no próprio eixo, portanto produzem torque nulo em relação a esse eixo; o choque é rápido, assim outros torques (como o peso) têm efeito desprezível no instante do impacto. Logo, o momento angular total em torno do eixo é conservado durante o impacto.
- Observação importante: a energia mecânica não precisa ser conservada (o choque é inelástico, já que a lama gruda), mas o momento angular em torno do eixo é conservado.
Passo 3
Calcular o momento angular inicial (antes do choque):
- A porta está em repouso, então sua contribuição inicial é zero.
- A lama é uma partícula que se move com velocidade de módulo
e impacta perpendicularmente à porta a uma distância do eixo; portanto o vetor posição e o vetor velocidade são perpendiculares, o que faz . - O módulo do momento linear da lama é
. - Logo o momento angular da lama em relação ao eixo é
Passo 4
Calcular o momento angular final (logo após o choque), em termos da velocidade angular
:
- Depois do choque, a lama ficou grudada na porta e o conjunto gira com velocidade angular
. - O momento angular de um corpo rígido que gira em torno de um eixo vale
, onde é o momento de inércia do sistema em relação ao mesmo eixo. - O momento de inércia da porta é dado
. A lama, tratada como partícula localizada a distância do eixo, tem momento de inércia (fórmula: momento de inércia de uma massa pontual a distância é ). - Portanto o momento de inércia total do sistema porta+lama é
e o momento angular final tem módulo
Passo 5
Aplicar a conservação do momento angular e resolver para
:
- Pela conservação do momento angular em torno do eixo durante o choque temos
- Substituindo os resultados dos passos anteriores:
- Isolando
:
- Interpretação rápida e checagem de consistência:
- Unidades: no numerador temos
; no denominador ou momento de inércia, então tem unidade , correta. - Casos-limite: se
muito pequeno, pequeno; se desprezível comparado a , , que corresponde ao caso em que a lama domina a inércia (faz sentido físico).
- Unidades: no numerador temos