\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} Caso: Determinar a equação característica para \boldsymbol{t}>\mathbf{0}
\alpha=\frac{R}{2 L} \rightarrow \alpha=\frac{5 \times 10^{3}}{2 \times 1} \rightarrow \alpha=2500 nepers / seg.
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}} \quad \rightarrow \quad \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{1 \times 250 \times 10^{-9}}} \rightarrow \quad \omega_{0}=2000 \mathrm{rad} / \mathrm{seg}.
\alpha>\omega_{0} Amortecimento Supercrítico

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei-os do que você escreveu):
  • \alpha=\dfrac{R}{2L}=2500 nepers/s.
  • \omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=2000 rad/s.
  • Conclusão já indicada: \alpha>\omega_{0} (amortecimento supercrítico).
O que é pedido: determinar a equação característica para t>0.
Vou usar esses dados para obter a equação característica simbólica (em termos de R,L,C e também em termos de \alpha,\omega_0) e a forma numérica correspondente; além disso vou calcular as raízes da equação para classificar o regime (já indicado como supercrítico) e mostrar a forma geral da solução.

Passo 2

Montar a equação diferencial do circuito (passo a passo, sem pular etapas).
Considere o circuito série R L C sem fonte para t>0. Aplicando a lei de Kirchhoff de tensões (KVL) temos que a soma das quedas de tensão é zero:
L\frac{di}{dt}+R\,i+\frac{1}{C}q=0,
onde i(t) é a corrente e q(t) é a carga do capacitor, com a relação i=\dfrac{dq}{dt}.
Para ter uma equação somente em i(t) derivamos a expressão (para eliminar q):
diferenciando em relação ao tempo:
L\frac{d^2 i}{dt^2}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=0.
Essa é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem que descreve a corrente no circuito para t>0.
Explicação rápida das parcelas:
  • L\dfrac{d^2 i}{dt^2} vem de L\dfrac{di}{dt} ao diferenciar (força eletromotriz induzida relacionada à derivada de i);
  • R\dfrac{di}{dt} é a derivada da corrente multiplicada pela resistência (aparece porque diferenciamos a parcela R i da KVL);
  • \dfrac{1}{C}i surge porque i=\dfrac{dq}{dt} e a tensão no capacitor é \dfrac{q}{C}.

Passo 3

Procurar soluções do tipo exponencial e obter a equação característica.
Assumimos uma solução do tipo i(t)=e^{s t} (essa suposição é padrão porque exponenciais transformam derivadas em multiplicação por s). Substituindo na equação diferencial:
L s^2 e^{s t} + R s e^{s t} + \frac{1}{C} e^{s t}=0.
Como e^{s t}\neq 0, podemos dividir por e^{s t} e obter a equação algébrica (a equação característica):
L s^2 + R s + \frac{1}{C}=0.
Dividindo tudo por L fica
s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}=0.
Agora usar as definições de \alpha e \omega_0. Pela definição
\alpha=\frac{R}{2L},\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Note que \frac{R}{L}=2\alpha e \frac{1}{LC}=\omega_0^2. Substituindo na equação característica:
s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0.
Essa é a forma canônica da equação característica em termos de \alpha e \omega_0.

Passo 4

Resolver a equação característica e interpretar o discriminante.
A fórmula quadrática dá as raízes:
s = \frac{-2\alpha \pm \sqrt{(2\alpha)^2 - 4\omega_0^2}}{2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}.
Aqui o discriminante é \Delta=\alpha^2-\omega_0^2.
  • Se \Delta>0 (isto é, \alpha>\omega_0) as raízes são reais e distintas — regime supercrítico (amortecimento supercrítico, sem oscilações).
  • Se \Delta=0 as raízes são reais e iguais — amortecimento crítico.
  • Se \Delta<0 as raízes são complexas conjugadas — regime subcrítico (oscilações amortecidas).
No seu caso numérico: \alpha=2500, \omega_0=2000. Calcule
\alpha^2-\omega_0^2 = 2500^2 - 2000^2 = 6{,}25\times10^{6} - 4{,}0\times10^{6}=2{,}25\times10^{6}.
Logo
\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}=\sqrt{2{,}25\times10^{6}}=1500.
As raízes são
s_1 = -2500 + 1500 = -1000, \qquad s_2 = -2500 - 1500 = -4000.
Ambas reais e negativas, confirmando o amortecimento supercrítico.

Passo 5

Apresentar a equação característica na forma solicitada e a solução geral associada.
A equação característica simbólica é
s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0.
Substituindo os valores numéricos obtemos
s^2 + 5000\,s + 4{,}0\times10^{6} = 0.
Essa equação fatoriza (pelas raízes encontradas) como
(s+1000)(s+4000)=0.
A solução geral da corrente (ou da variável que estiver sendo descrita por essa equação) para t>0 é combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
i(t)=A e^{-1000 t} + B e^{-4000 t},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais (por exemplo i(0) e di/dt\big|_{t=0} ou pela carga e tensão iniciais do capacitor).

Resposta

s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0\n
s^2 + 5000\,s + 4{,}0\times10^{6} = 0 (numérica)\n
s_{1}=-1000,\quad s_{2}=-4000 (raízes reais distintas, amortecimento supercrítico)

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