Caso: Determinar a equação característica para
nepers
seg.
.
Amortecimento Supercrítico
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei-os do que você escreveu):
-
nepers/s. -
rad/s. - Conclusão já indicada:
(amortecimento supercrítico).
O que é pedido: determinar a equação característica para
.
Vou usar esses dados para obter a equação característica simbólica (em termos de e também em termos de
) e a forma numérica correspondente; além disso vou calcular as raízes da equação para classificar o regime (já indicado como supercrítico) e mostrar a forma geral da solução.
Vou usar esses dados para obter a equação característica simbólica (em termos de
Passo 2
Montar a equação diferencial do circuito (passo a passo, sem pular etapas).
Considere o circuito série
–
–
sem fonte para
. Aplicando a lei de Kirchhoff de tensões (KVL) temos que a soma das quedas de tensão é zero:
onde
é a corrente e
é a carga do capacitor, com a relação
.
Para ter uma equação somente em
derivamos a expressão (para eliminar
):
diferenciando em relação ao tempo:
diferenciando em relação ao tempo:
Essa é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem que descreve a corrente no circuito para
.
Explicação rápida das parcelas:
-
vem de ao diferenciar (força eletromotriz induzida relacionada à derivada de ); -
é a derivada da corrente multiplicada pela resistência (aparece porque diferenciamos a parcela da KVL); -
surge porque e a tensão no capacitor é .
Passo 3
Procurar soluções do tipo exponencial e obter a equação característica.
Assumimos uma solução do tipo
(essa suposição é padrão porque exponenciais transformam derivadas em multiplicação por
). Substituindo na equação diferencial:
Como
, podemos dividir por
e obter a equação algébrica (a equação característica):
Dividindo tudo por
fica
Agora usar as definições de
e
. Pela definição
Note que
e
. Substituindo na equação característica:
Essa é a forma canônica da equação característica em termos de
e
.
Passo 4
Resolver a equação característica e interpretar o discriminante.
A fórmula quadrática dá as raízes:
Aqui o discriminante é
.
- Se
(isto é, ) as raízes são reais e distintas — regime supercrítico (amortecimento supercrítico, sem oscilações). - Se
as raízes são reais e iguais — amortecimento crítico. - Se
as raízes são complexas conjugadas — regime subcrítico (oscilações amortecidas).
No seu caso numérico:
,
. Calcule
Logo
As raízes são
Ambas reais e negativas, confirmando o amortecimento supercrítico.
Passo 5
Apresentar a equação característica na forma solicitada e a solução geral associada.
A equação característica simbólica é
Substituindo os valores numéricos obtemos
Essa equação fatoriza (pelas raízes encontradas) como
A solução geral da corrente (ou da variável que estiver sendo descrita por essa equação) para
é combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (por exemplo
e
ou pela carga e tensão iniciais do capacitor).