- Para cada proposição abaixo, diga se é universal ou particular e determine o valorverdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais
Passo 1
O enunciado nos dá a proposição
com universo de discurso sendo o conjunto dos números naturais
.
O que se pede:
O que se pede:
- Dizer se a proposição é universal ou particular.
- Determinar o valor-verdade da proposição (se é verdadeira ou falsa).
Passo 2
Entender o que a fórmula significa, literalmente:
- O quantificador
quer dizer “existe pelo menos um tal que…”. - O quantificador
quer dizer “para todo vale que…”.
Portanto a frase lê-se: "Existe um naturaltal que, para todo natural , ".
Para avaliar uma afirmação com umexterior seguido de um interior, a estratégia prática é: encontrar (ou tentar encontrar) um candidato concreto — chamado testemunha — e provar que esse mesmo satisfaz a condição para todo .
Passo 3
Classificação (universal vs particular):
- A proposição começa com
, ou seja, é uma proposição existencial / particular.
Explicação curta: proposição “universal” tem forma começando por, proposição “particular” tem forma começando por .
Passo 4
Analisar a possibilidade de existência de tal
nos naturais. Observação importante sobre convenção: algumas vezes
é tomado como
e às vezes como
. Em qualquer das convenções existe um menor elemento em
: seja
no primeiro caso ou
no segundo caso. Vou tratar as duas possibilidades de forma unificada: escolha
igual ao menor elemento de
, que denoto por
.
Passo 5
Verificação formal com o testemunha
:
- Por definição de “menor elemento”, para todo
vale que (pois não existe elemento em menor que ; assim qualquer é ou igual a ou maior que ). - Isso quer dizer exatamente que
é verdadeiro. - Como encontramos um
(o ) que torna verdadeiro, a fórmula é verdadeira.
Passo 6
Observações didáticas e comparação para fixar a ideia:
- O passo chave foi achar um testemunha
(o menor natural). Se o universo não tivesse mínimo (por exemplo, se o universo fosse os inteiros ), essa mesma proposição seria falsa: não existe inteiro que seja a todos os inteiros. - Ordem dos quantificadores importa: aqui
é satisfeita porque existe um mínimo. Já também é verdadeira em (por exemplo, dado escolhe-se ); mas são afirmações diferentes em significado.
Resposta
Particular
Verdadeira
Verdadeira