\mathbf{2 6} - Para cada proposição abaixo, diga se é universal ou particular e determine o valorverdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais
\exists m \forall n(m \leq n)

Passo 1

O enunciado nos dá a proposição
\exists m\\ \forall n\\ (m \leq n)
com universo de discurso sendo o conjunto dos números naturais \mathbb{N}.
O que se pede:
  • Dizer se a proposição é universal ou particular.
  • Determinar o valor-verdade da proposição (se é verdadeira ou falsa).

Passo 2

Entender o que a fórmula significa, literalmente:
  • O quantificador \exists m quer dizer “existe pelo menos um m\in\mathbb{N} tal que…”.
  • O quantificador \forall n quer dizer “para todo n\in\mathbb{N} vale que…”.
    Portanto a frase lê-se: "Existe um natural m tal que, para todo natural n, m \leq n".
    Para avaliar uma afirmação com um \exists exterior seguido de um \forall interior, a estratégia prática é: encontrar (ou tentar encontrar) um candidato concreto m — chamado testemunha — e provar que esse mesmo m satisfaz a condição para todo n.

Passo 3

Classificação (universal vs particular):
  • A proposição começa com \exists, ou seja, é uma proposição existencial / particular.
    Explicação curta: proposição “universal” tem forma começando por \forall, proposição “particular” tem forma começando por \exists.

Passo 4

Analisar a possibilidade de existência de tal m nos naturais. Observação importante sobre convenção: algumas vezes \mathbb{N} é tomado como \{0,1,2,\dots\} e às vezes como \{1,2,3,\dots\}. Em qualquer das convenções existe um menor elemento em \mathbb{N}: seja m_0=0 no primeiro caso ou m_0=1 no segundo caso. Vou tratar as duas possibilidades de forma unificada: escolha m igual ao menor elemento de \mathbb{N}, que denoto por m_0.

Passo 5

Verificação formal com o testemunha m_0:
  • Por definição de “menor elemento”, para todo n\in\mathbb{N} vale que m_0 \leq n (pois não existe elemento em \mathbb{N} menor que m_0; assim qualquer n é ou igual a m_0 ou maior que m_0).
  • Isso quer dizer exatamente que \forall n\\ (m_0 \leq n) é verdadeiro.
  • Como encontramos um m (o m_0) que torna \forall n\\ (m\le n) verdadeiro, a fórmula \exists m\\ \forall n\\ (m\le n) é verdadeira.

Passo 6

Observações didáticas e comparação para fixar a ideia:
  • O passo chave foi achar um testemunha m (o menor natural). Se o universo não tivesse mínimo (por exemplo, se o universo fosse os inteiros \mathbb{Z}), essa mesma proposição seria falsa: não existe inteiro que seja \le a todos os inteiros.
  • Ordem dos quantificadores importa: aqui \exists m\\ \forall n(\cdots) é satisfeita porque existe um mínimo. Já \forall n\\ \exists m(m\le n) também é verdadeira em \mathbb{N} (por exemplo, dado n escolhe-se m=n); mas são afirmações diferentes em significado.

Resposta

Particular
Verdadeira

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