Determine o valor verdade de cada proposição abaixo: \forall n \in \mathbb{N}^{*} \exists m \in \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, m<\frac{1}{n}\right.
Passo 1
Vou explicitar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Enunciado (pego do problema): \forall n \in \mathbb{N}^{*}\\ \exists m \in \mathbb{N}^{*}\\ \left\lvert\, m<\frac{1}{n}\right..
O que isso pergunta: determinar o valor verdade (verdadeiro ou falso) da proposição universal acima.
Informações importantes fornecidas:
\mathbb{N}^{*} significa os naturais positivos: \mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\dots\}.
A proposição afirma que para todo n natural positivo existe algum m natural positivo tal que m<\dfrac{1}{n}.
Passo 2
Entender o significado dos quantificadores e como provar ou refutar a proposição.
O quantificador \forall n diz "para todo n na \mathbb{N}^{*}"; para que a proposição seja verdadeira, a propriedade deve valer para todos os n.
O quantificador \exists m dentro diz "existe um m na \mathbb{N}^{*}" que satisfaz a desigualdade dada.
Estratégia para refutar uma proposição da forma \forall n\\ \exists m\\ \text{(propriedade)}: basta encontrar um contraexemplo, isto é, encontrar um n_0\in\mathbb{N}^{*} tal que não exista m\in\mathbb{N}^{*} satisfazendo a propriedade. Se algum n_0 falhar, a afirmação universal é falsa.
Passo 3
Analisar as desigualdades envolvidas: quais valores podem assumir m e \dfrac{1}{n}.
Para qualquer m\in\mathbb{N}^{*} vale m\ge 1.
Para qualquer n\in\mathbb{N}^{*} vale \dfrac{1}{n}\le 1. (Em particular, \dfrac{1}{1}=1 e para n\ge 2 tem \dfrac{1}{n}<1.)
Passo 4
Construir o contraexemplo explícito (o passo-chave para refutar).
Tome n=1 (note que n=1 pertence a \mathbb{N}^{*}).
Para n=1 a desigualdade exigida seria encontrar m\in\mathbb{N}^{*} tal que m<\dfrac{1}{1}, ou seja m<1.
Mas nenhum m\in\mathbb{N}^{*} satisfaz m<1, porque todo m\in\mathbb{N}^{*} tem m\ge 1.
Logo, para n=1 a existência do m falha; isto é, \exists m\in\mathbb{N}^{*}\\ (m<\tfrac{1}{1}) é falsa.
Passo 5
Conclusão lógica a partir do contraexemplo.
Como a propriedade falha já para n=1, a afirmação universal \forall n\in\mathbb{N}^{*}\\ \exists m\in\mathbb{N}^{*}\\ (m<\tfrac{1}{n}) é falsa.
Observação adicional (opcional para entendimento): na verdade, para qualquer n em \mathbb{N}^{*} tem \tfrac{1}{n}\le 1, então nunca existe m\in\mathbb{N}^{*} com m<\tfrac{1}{n}; portanto o existencial é falso para todo n, reforçando que o universal falha.