- Para cada proposição abaixo, diga se é universal ou particular e determine o valorverdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais
Passo 1
O enunciado dá o universo de discurso: o conjunto dos números naturais. A proposição a analisar é
O que é pedido:
- dizer se a proposição é universal ou particular;
- determinar o valor‑verdade (se é verdadeira ou falsa).
Passo 2
Vamos interpretar direitinho os quantificadores:
-
significa “para todo no universo (todo número natural )”; -
significa “existe algum no universo (algum número natural )”;
portanto a fórmula lê-se: "para todoexiste algum tal que ".
Importante: a ordem dos quantificadores importa —não é equivalente a .
Passo 3
Como provar verdade/falsidade de uma fórmula com quantificadores:
- Para provar que
é verdadeira, é necessário mostrar um procedimento/regra que, dado qualquer , produz um que satisfaz . - Para mostrar que a fórmula é falsa, basta encontrar um contraexemplo: um
tal que não exista nenhum com .
Passo 4
Escolher um candidato a contraexemplo. Primeiro considere a convenção comum
. Tome
. A condição exigida é existir
tal que
.
Mas todo satisfaz
, logo não existe
com
. Portanto, para
a propriedade falha; temos um contraexemplo. Assim, sob essa convenção a fórmula é falsa.
Mas todo
Passo 5
Agora considere a outra convenção possível
. Tome
. A condição pede um
tal que
. Pelo fato de todos os naturais (nesta convenção) satisfazerem
, não existe
com
. Portanto, para
a propriedade também falha; temos um contraexemplo. Logo, sob esta convenção a fórmula também é falsa.
Passo 6
Conclusão sobre classificação e valor‑verdade:
- Classificação: a fórmula é uma proposição universal (o quantificador externo é
, portanto é uma afirmação do tipo “para todo … existe …”). - Valor‑verdade: a fórmula é falsa — em ambas as convenções usuais para
encontra‑se um (respectivamente ou ) que impede a existência de com .
Resposta
É universal.
Falso.
Falso.