\mathbf{2 6} - Para cada proposição abaixo, diga se é universal ou particular e determine o valorverdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais
\forall n \exists m(m<n)

Passo 1

O enunciado dá o universo de discurso: o conjunto dos números naturais. A proposição a analisar é
\forall n\,\exists m\,(m<n).
O que é pedido:
  • dizer se a proposição é universal ou particular;
  • determinar o valor‑verdade (se é verdadeira ou falsa).

Passo 2

Vamos interpretar direitinho os quantificadores:
  • \forall n significa “para todo n no universo (todo número natural n)”;
  • \exists m significa “existe algum m no universo (algum número natural m)”;
    portanto a fórmula lê-se: "para todo n existe algum m tal que m<n".
    Importante: a ordem dos quantificadores importa — \forall n\,\exists m não é equivalente a \exists m\,\forall n.

Passo 3

Como provar verdade/falsidade de uma fórmula com quantificadores:
  • Para provar que \forall n\,\exists m\,P(n,m) é verdadeira, é necessário mostrar um procedimento/regra que, dado qualquer n, produz um m que satisfaz P(n,m).
  • Para mostrar que a fórmula é falsa, basta encontrar um contraexemplo: um n_0 tal que não exista nenhum m com P(n_0,m).

Passo 4

Escolher um candidato a contraexemplo. Primeiro considere a convenção comum \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. Tome n=0. A condição exigida é existir m\in\mathbb{N} tal que m<0.
Mas todo m\in\mathbb{N} satisfaz m\ge 0, logo não existe m\in\mathbb{N} com m<0. Portanto, para n=0 a propriedade falha; temos um contraexemplo. Assim, sob essa convenção a fórmula é falsa.

Passo 5

Agora considere a outra convenção possível \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. Tome n=1. A condição pede um m\in\mathbb{N} tal que m<1. Pelo fato de todos os naturais (nesta convenção) satisfazerem m\ge 1, não existe m\in\mathbb{N} com m<1. Portanto, para n=1 a propriedade também falha; temos um contraexemplo. Logo, sob esta convenção a fórmula também é falsa.

Passo 6

Conclusão sobre classificação e valor‑verdade:
  • Classificação: a fórmula é uma proposição universal (o quantificador externo é \forall, portanto é uma afirmação do tipo “para todo … existe …”).
  • Valor‑verdade: a fórmula é falsa — em ambas as convenções usuais para \mathbb{N} encontra‑se um n (respectivamente n=0 ou n=1) que impede a existência de m com m<n.

Resposta

É universal.
Falso.

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