(
pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
pt.) Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. Informações importantes dadas:
- A função integranda é
. - O ponto singular
está dentro do círculo , porque . - O sentido de percurso é anti-horário (o sentido padrão para aplicar fórmulas de Cauchy).
Passo 2
Observação útil: podemos escrever a integranda na forma
com
e
. Note que
é uma função inteira (analítica em toda parte) — é constante.
Vou usar a Fórmula Integral de Cauchy para derivadas (a qual está no enunciado). Em forma exibida:
onde:
-
é uma função analítica numa vizinhança que contém e seu interior; -
é um ponto interior a ; -
é um inteiro não negativo; -
é a -ésima derivada de em .
Passo 3
Adaptando a fórmula ao nosso caso: temos um denominador com potência
, isto é
. Comparando com a fórmula,
dá
Isolando a integral na fórmula de Cauchy:
No nosso caso
, então suas derivadas de ordem positiva são zero:
Passo 4
Substituindo
e
na expressão da integral:
Comentário rápido de verificação: pela expansão em série de Laurent em torno de
, a função
tem apenas termo em
; não há termo em
, então o resíduo é zero e a integral ao redor do contorno é zero — consistente com o resultado acima.