( \mathbf{2 , 5} pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde C é o círculo |z|=3, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_{0}} d z \text { ou } f^{(n)}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}} d z
\left(0,5\right. pt.) Calcule \oint_{C} d z \frac{e^{5}}{(z-2)^{3}} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{e^{5}}{(z-2)^{3}}\,dz,
onde C é o círculo |z|=3 percorrido no sentido anti-horário. Informações importantes dadas:
  • A função integranda é \dfrac{e^{5}}{(z-2)^{3}}.
  • O ponto singular z_{0}=2 está dentro do círculo C, porque |2|=2<3.
  • O sentido de percurso é anti-horário (o sentido padrão para aplicar fórmulas de Cauchy).

Passo 2

Observação útil: podemos escrever a integranda na forma
\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{3}}
com f(z)=e^{5} e z_{0}=2. Note que f(z)=e^{5} é uma função inteira (analítica em toda parte) — é constante.
Vou usar a Fórmula Integral de Cauchy para derivadas (a qual está no enunciado). Em forma exibida:
f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz,
onde:
  • f é uma função analítica numa vizinhança que contém C e seu interior;
  • z_{0} é um ponto interior a C;
  • n é um inteiro não negativo;
  • f^{(n)}(z_{0}) é a n-ésima derivada de f em z_{0}.

Passo 3

Adaptando a fórmula ao nosso caso: temos um denominador com potência 3, isto é (z-z_{0})^{3}. Comparando com a fórmula, (z-z_{0})^{n+1}=(z-z_{0})^{3}
n+1=3\quad\Rightarrow\quad n=2.
Isolando a integral na fórmula de Cauchy:
\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(z_{0}).
No nosso caso f(z)=e^{5}, então suas derivadas de ordem positiva são zero:
f'(z)=0,\qquad f''(z)=0,\quad\text{logo}\quad f^{(2)}(2)=0.

Passo 4

Substituindo n=2 e f^{(2)}(2)=0 na expressão da integral:
\oint_{C}\frac{e^{5}}{(z-2)^{3}}\,dz=\frac{2\pi i}{2!}\,f^{(2)}(2)=\frac{2\pi i}{2}\cdot 0=0.
Comentário rápido de verificação: pela expansão em série de Laurent em torno de z=2, a função \dfrac{e^{5}}{(z-2)^{3}} tem apenas termo em (z-2)^{-3}; não há termo em (z-2)^{-1}, então o resíduo é zero e a integral ao redor do contorno é zero — consistente com o resultado acima.

Resposta

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