\mathbf{2 1}^{*}. Uma carga elétrica Q está distribuída uniformemente em torno de um fino anel de raio R. Calcule o potencial em um ponto P situado sobre o eixo do anel a uma distância x do centro do anel.
\mathbf{2 2}^{\mathbf{* *}}. Uma casca cilíndrica isolante muito longa possui raio de 6,0 \mathrm{~cm} e carrega densidade linear de carga de 8,50 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}, uniformemente espalhada pela sua superfície externa. Qual seria a leitura de um voltímetro, se ele estivesse conectado (a) entre a superfície do cilindro e um ponto 4,00 \mathrm{~cm} acima da superfície e

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (21*) calcular o potencial elétrico em um ponto P sobre o eixo de um anel de raio R que carrega carga total Q uniformemente distribuída.
  • (22**) pergunta a leitura de um voltímetro entre a superfície de um cilindro isolante de raio 6{,}0\:\text{cm} e um ponto situado 4{,}00\:\text{cm} acima dessa superfície, mas o enunciado está incompleto (falta especificar o outro ponto de referência ou o diferencial de potencial desejado).
Para resolver (21*) vamos usar a definição de potencial de uma distribuição contínua de carga:
V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\mathrm{d}q}{r}\,,
onde r é a distância de cada elemento de carga até P.

Passo 2

Parametrizamos o anel pelo ângulo \varphi. Como a carga é uniforme, a densidade linear é
\lambda = \frac{Q}{2\pi R}\,,
e um elemento de carga vale \mathrm{d}q = \lambda\,R\,\mathrm{d}\varphi.

Passo 3

Cada ponto do anel fica à mesma distância de P que é
r = \sqrt{x^{2}+R^{2}}\,.
Logo o potencial é
V(P) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi} \frac{\lambda\,R\,\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{\lambda\,R}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}} \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{\lambda\,R\,(2\pi)}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}\,.

Passo 4

Substituindo \lambda=Q/(2\pi R) obtemos
V(P) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}\,.

Passo 5

Para a parte (22**) não há como completar o cálculo porque o enunciado não especifica completamente qual potencial ou quais dois pontos devem ser comparados além do ponto 4{,}00\:\text{cm} acima da superfície.

Resposta

(21*)
V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}\,.
(22**) Não é possível resolver pois o enunciado está incompleto e falta informação sobre o potencial de referência ou o segundo ponto de medição.

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