\mathbf{0 1}(\mathbf{5 , 0}) - Considere uma onda plana uniforme de frequência 600 THz se propagando no ar na direção +z. O campo elétrico está polarizado na direção x . Essa onda incide normalmente em uma superfície de vidro no plano \mathrm{z}=0 e a permissividade relativa do vidro é \varepsilon_{\mathrm{r}}=2.25 (meio não-magnéticos \mu_{\mathrm{r}}=1 ). A amplitude do campo elétrico da onda incidente é 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e sua fase inicial é zero.
a) Escreva os fasores e as expressões dos campos instantâneos incidentes \mathbf{E}_{\mathbf{i}} e \mathbf{H}_{\mathbf{i}}.
b) Escreva os fasores e as expressões dos campos instantâneos refletidos \mathbf{E}_{\mathbf{r}} e \mathbf{H}_{\mathbf{r}}.
c) Escreva os fasores e as expressões dos campos instantâneos transmitidos \mathbf{E}_{t} e \mathbf{H}_{\mathbf{t}}.
d) Determine a fração da potência incidente que é transmitida para a onda que se propaga no vidro.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana senoidal de frequência f=600\,\mathrm{THz} que se propaga no ar (meio 1) na direção +z, com campo elétrico polarizado em x. Essa onda incide normalmente numa superfície plana de vidro em z=0 (meio 2) com \varepsilon_r=2,25 e \mu_r=1. A amplitude do campo elétrico incidente é E_{0i}=10\,\mathrm{V/m} e a fase inicial é zero. Vamos encontrar, passo a passo, os fasores e os campos instantâneos \mathbf{E} e \mathbf{H} das ondas incidente, refletida e transmitida, e calcular a fração de potência que entra no vidro.

Passo 2

Primeiro, obtemos a frequência angular e os números de onda em cada meio.
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 600\times10^{12}\approx3,77\times10^{15}\,\mathrm{rad/s}
k_1 = \frac{\omega}{c}\approx\frac{3,77\times10^{15}}{3\times10^8}\approx1,26\times10^7\,\mathrm{rad/m}
k_2 = k_1\sqrt{\varepsilon_r}\approx1,26\times10^7\times\sqrt{2,25}\approx1,89\times10^7\,\mathrm{rad/m}
Em seguida, as impedâncias características dos meios são
\eta_1 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 377\,\Omega
\eta_2 = \sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r}} = \frac{\eta_1}{\sqrt{\varepsilon_r}}\approx\frac{377}{1,5}\approx251{,}3\,\Omega
Os coeficientes de reflexão e transmissão em amplitude na interface z=0 valem
\Gamma = \frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}\approx\frac{251{,}3-377}{251{,}3+377}\approx-0{,}2
\tau = \frac{2\,\eta_2}{\eta_2+\eta_1}\approx\frac{2\times251{,}3}{628{,}3}\approx0{,}8
Logo as amplitudes das ondas refletida e transmitida são
E_{0r} = \Gamma\,E_{0i} = -2\,\mathrm{V/m},\quad E_{0t} = \tau\,E_{0i} = 8\,\mathrm{V/m}

Passo 3

O fasor do campo elétrico incidente é
\mathbf{E}_i(z) = \hat{x}\,E_{0i}\,e^{-j k_1 z}
e, usando \mathbf{H}=(1/\eta)\,\hat{k}\times\mathbf{E}, o fasor magnético é
\mathbf{H}_i(z) = \hat{y}\,\frac{E_{0i}}{\eta_1}\,e^{-j k_1 z}.
Os campos instantâneos correspondentes são
\mathbf{E}_i(z,t) = \hat{x}\,E_{0i}\cos(\omega t - k_1 z),
\mathbf{H}_i(z,t) = \hat{y}\,\frac{E_{0i}}{\eta_1}\cos(\omega t - k_1 z).

Passo 4

Para a onda refletida (em z<0), o fasor elétrico é
\mathbf{E}_r(z) = \hat{x}\,E_{0r}\,e^{+j k_1 z}
com E_{0r}=-2\,\mathrm{V/m}, e o fasor magnético
\mathbf{H}_r(z) = -\hat{y}\,\frac{E_{0r}}{\eta_1}\,e^{+j k_1 z}.
Os campos instantâneos são
\mathbf{E}_r(z,t) = \hat{x}\,E_{0r}\cos(\omega t + k_1 z),
\mathbf{H}_r(z,t) = -\hat{y}\,\frac{E_{0r}}{\eta_1}\cos(\omega t + k_1 z).

Passo 5

Para a onda transmitida no vidro z>0, o fasor elétrico é
\mathbf{E}_t(z) = \hat{x}\,E_{0t}\,e^{-j k_2 z}
com E_{0t}=8\,\mathrm{V/m}, e o fasor magnético
\mathbf{H}_t(z) = \hat{y}\,\frac{E_{0t}}{\eta_2}\,e^{-j k_2 z}.
Os campos instantâneos são
\mathbf{E}_t(z,t) = \hat{x}\,E_{0t}\cos(\omega t - k_2 z),
\mathbf{H}_t(z,t) = \hat{y}\,\frac{E_{0t}}{\eta_2}\cos(\omega t - k_2 z).

Passo 6

A potência média incidente é S_i = |E_{0i}|^2/(2\eta_1) e a transmitida é S_t = |E_{0t}|^2/(2\eta_2). A fração transmitida fica
T = \frac{S_t}{S_i} = \bigl|\tau\bigr|^2\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{4\,\eta_1\,\eta_2}{(\eta_1+\eta_2)^2} \approx0,96.

Resposta

A fração da potência incidente que é transmitida para o vidro é aproximadamente 0,96 (ou 96\%).

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